* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
171 8. Пусть ft, •= ft и /&,—/*. Тогда изъ формулы умножешя (п. 6, (10)) получимъ: I — r fcos 2 ft + /sin 2 ft);
2 2
положивъ въ той же формуле ~, —
3 3
г, — г , и ft, — 2ift, получимъ:
2
^ = г (cos 3 ft -|~ i sin 3 ft-). При помощи совершенной индукцш легко доказать общей формулы: ~ — Г(cos//ftп
справедливость
-|~ /sin/zift).
(11) = г" и
Для этого нужно въ формуле (10) подставить: ^
ft, - / / f t .
Если мы во второй изъ двухъ формулъ (10) положимъ: /",^1 то получимъ: - • — * (cos ft- — /sin ft). Если въ той же формуле возьмемъ, кроме того, делителемъ не чи сло ^, а число то, согласно формуле (11), мы должны заменить мо дуль г и фазу ft соответственно черезъ г и уг-ft, такъ что окончательно найдемъ:
п
и
ft,=0,
~ " = г ~~ (cos // ft— / sin ?/ ft). Такимъ образомъ, формула Г П ) справедлива при всякомъ целомъ // какъ положительному такъ и отрицательному Формула (11) известна подъ назвашемъ формулы Муавра (Moivre). Посредствомъ нея можно получить любую степень комплекснаго числа съ целымъ показателемъ. Позже мы покажемъ, какъ можно воспользоваться этой формулой для определешя степени, когда показатель не есть целое число. Въ заключеше, скажемъ два слова объ историческомъ развили теоpin мнимыхъ чиселъ. Давно уже было известно, что некоторыя уравнешя не И М Б Ю Т Ъ ни одного корня въ области чиселъ, надъ которыми опериро вали. Столь же давно стали делать условно вычислешя надъ выражешями, содержащими знакъ / — 1 такъ, какъ будто онъ действительно пред ставляетъ собою число. Напримеръ, Карданусъ (Hieronymus Cardanus 1501 1576) знаетъ уже, что отрицательные корни уравнешй имеютъ въ некоторыхъ случаяхъ определенный смыслъ, но онъ еще не въ состояши приписать какой нибудь смыслъ такимъ символамъ. какъ ]/—1.У Декарта (Decartes, 1596—1650) мы уже встречаемътермины „вещественные корни"
_
и
