* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
76 Если же мы тьмь не менее желаемъ сделать нашу задачу разре шимой, намь необходимо вновь расширить тюнипе о числе, введя числа повой природы; эти посльдтя мы будемь называть вообще и р р а ц и о н а л ь н ы м и ч и с л а м и ; въ противоположность имь мы будемъ впредь на зывать pani о п а л ь н ы ми числа, которыми мы занимались до сихъ п ръ; они полжны подходить, какъ частный случай, ноль вновь расширенное по нято о числе. Эти новьтя числа, какъ и вообще всякаго рода числа, являются про дуктом ь свободнаго творчества нашего духа; пользуемся ли мы этимъ расширенным-!, поняпемъ о числе или н ьтъ, даемъ ли ему новое назваше или негь, это исключительно вопросъ точки зрьшя и целесообразно сти Вопросъ этотъ не имеетъ значешя при практическихъ имчислешяхъ, такъ какь з/rhci приходится, въ конце концовъ, оперировать исключителыю надъ рацюнальными числами. Однакожъ указанное расширеше понятая о числе необходимо для внутренней гармонш учешя о числе; без! этой энолюцш формулировка и изложение многих!- теоремь, особен но въ высшемъ анализе, представляла бы огромный трудности и требо вала бы чрезвычайной пространности. Мы имеем ь, конечно, право давать особое назваше каждому стро го определенному родовому понятно. Но при этомъ безусловно необхо димо установит!- содержаше ионяпя съ такой определенностью, чтобы во всех», случаях*ь можно было безъ всякаго сомнешя решить, что подходить и что не подходит!» подъ это понятие: лишь гамя безукоризненно определенныя понята могутъ составлять топ- матер|&аль, надъ которым!» оперируетъ математика. Понято объ и р р а ц т н а л ь н о м ъ ч и с л е , какъ и вообще понято о числе, есть р о д о в о е п о н я & п е Можно установит!» безкоиечиое число системъ таю», чтоби между иидивидумами любыхъ двух!» таких ь системъ м о г л о с у щ е с т в о в а т ь о д н о з н а ч н о е с о о т в е т с т в 1 е . и все гашя системы одинаково хорошо могли бы служит!- той пели, ради которой вводятся иррацюнальныя числа ). Например!,, мы можемь исходит! отъ безконечныхъ л е с я т и ч н ы х ъ д р о б е й , или отъ безконечныхъ н е п р е р ы в 1
&) Эта М1,1сль требуетъ, новидимому, пояснешя. Изложение ариеметики нача то введешемъ комплекса логических!) объектовъ (поиятШ), которые названы на туральными числами Этотъ комплексъ затемъ расширенъ введеш&емъ новыхъ эле ментовъ. -дробиыхъ и отрицательных!» чиселъ. Теперь необходимо произвести дальнейшее расширение этого комплекса. Та цель, которая имеется при этом!» въ виду можетъ быть достигнута различными путями. Иначе говоря, можно различ ным!, образомъ построит!, комплексы так!», что въ составъ каждого изъ нихъ войдутт, все рацгональныя числа и каждый изъ нихъ можетъ удовлетворить поставлен ной цели; но все эти комплексы будутъ иметь одинаковую мощность. Указанные въ тексте примеры не могутъ получить здесь значительна™ развитая, такъ какъ это потребовало бы пространных!, разсуждешй.
