* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

75 Если указанное ycionie выполнено, т е. а 2 а ft-=2ft у = 2у&, то квадратный корень числа /// представится въ такой форме* Ут а"&У с > } Если же число /// не представляеть собою полнаго квадрата, то нельзя также указать такой дроби p/q. квадратъ которой равнялся бы числу ///. Льйствителыю, если у какою-нибудь первоначальнаго множителя а числа ш показателемь степени служить нечетное число а, то равенство ]}iq =p* невозможно; въ самомъ деле, такъ какь показатель числа а представляетъ собой нечетное число, то это равенство было бы возмож­ но только въ томъ случат», если бы и въ число р множитель а входилъ сь нечетнымъ показателемь. l 1 % Точно также н е с о к р а т и м а я д р о б ь ///&// предстанляетъ собою пол­ ный квадратъ некоторой дроби pjq л и т ь вь томъ случай котла числа /// и // о б а п р е д с т а в л я ю т ъ с о б о й п о л н ы е к в а д р а т ы . Действительно, предположить, что числа /// и // не имеют ь пн од­ ного общаго множителя; положимъ далее, что въ составь числа /// вхо­ дить простое число а сь нечетнымь показателемь а; если бы при этихъ усложяхъ имело место равенство mq& = пр , го правая его часть пр* должна была бы содержать множителя а" - вь виду того, однако, что знаменатель // не содержитъ множителя а, мы должны были бы притти кь заключешю, что полный квадрать /У содержитъ множитель а вь не­ четной степени; это же не можетъ иметь места-). 2 2 2 2. Такимъ образомъ выполнение чейспия, обратиаго возвышению вь степень, оказывается иногда невозможным&!» уже при показателе 2. Задача эта представляется въ той же степени неразрешимой, какъ во­ прос», о деленш целых!, чисел!, до введешя дробей. • ) Полагаютъ. что 11иеагоръ первый ясно понялъ невозможность выразить числомъ (aXoyov) корень квадратный изъ числа, которое не представляетъ собой полнаго квадрата, напр. квадратный корень изъ числа 2, который представляетъ собою отношеш&е д1агонали квадрата къ его стороне. У Евклида (Elemente X. 117 Heiberg, т. Ill, стр. 409) находимъ указанное еще Аристотелемъ доказательство это то предложешя. Доказательство это по существу совпаласть съ приведеннымь на­ ми въ тексте: нельзя указать двухъ пьлыхъ чисел!,, которыя не имели бы об щихъ множителей и удовлетворяли бы у с л о в ш 2 х - - у ; действительно, при налич­ ности такого равенства число у было бы четное (такъ какъ е г о квадратъ, т. е. у* было бы четнымъ числомъ 2д-); следовательно, квадратъ его у* былъ бы кратнымъ четырехъ. Н о если число 2 х кратно четырехъ. то число х кратно 2, следователь­ но число х было бы также четнымъ и имело бы съ числомъ у общаго множите 1я Ъ что противоречит!) услов!ю Дедекиндъ въ своем!, сочинеш&и „Непрерывность и иррашональныя числа" нриводитъ другое доказательство, не основанное на теоремахъ о разложенш числа на первоначальных?» множителей. 2 1 2 2 :