* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ГЛ. II]
ТЕОРИЯ
КВАНТ
по
ТОМСОНУ
327
Рассмотренный нами пример (40) представляет собой систему ортогональ ных {прямоугольных) координат. Мы в дальнейшем и будем пользовать ся только ортогональными системами. Элемент дуги в системе (40) бу дет иметь следующий вид: ds = ds? + ds
2 2 2
+ dsi = dr* + r* sin* Ь df + r
2
rfft .
2
(42)
Составим теперь выражение операции div в системе криволинейных ортогональных координат. Для этого рассмотрим поток какого-либо вектора М через „грани" бесконечно малого элемента dsj ds ds Соста вим прежде всего следующую таблицу: Поток через
2 r
ds ds -> М ds
2 s г 2 2
2
ds ds
zv
ds ds^ -> M d$ ds d$
1 2
3
v
-> M
B
ds ds ,
x 2
через противоположные элементы поверхности элемента объема М ds ds -f- ^
г 2 a
ds ds ds :
l 2 3
(М ds ds ) ds
г 2 z
v
M ds dsj
2 3
+
2
(M ds dsj ds ,
2 9 2
M ds ds -f- r^- (Af ds ds )
t x 2 3 x 2
ds .
2
Так как элемент составлен из криволинейных отрезков, то элементы поверхности, противоположные ds ds и т. д., могут отличаться, а по тому все ds ds , ds d$ ds ds и стоят в нашей таблице под знаком производных. Составляя величину потока через всю поверхность элемента ds ds ds и заменяя производные по ds ds , ds через da, d$ и rfy, мы получаем:
4 2 H B v 1 2 x 2 B lt 2 a
Aj
(М ds ds ) ds + h щ (M ds ds ) ds - f h A {M ds ds ) ds .
г 2 s x 2 2 s t 2 2 z x 2 z
(a)
Вставляем во всех выражениях в скобках вместо ds их выражения через da и выводим все da, d$ и dy из-под знака производных, так как а, р и у — независимые переменные:
Заменяем теперь ^ , rf| и т. д. их выражениями через ds; тогда (а ) принимает вид:
г
