* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВОЛНЫ НА СТРУНЕ 119 разом ( & & ) представляет с о б о й любое возмущение, т. е. возмущение любой формы, определяемой видом функции f распространяющееся с о скоростью V вдоль струны в сторону положительных значений лг. Нетрудно убедиться, что f {x--Vt) представляет с о б о й также произ­ вольное возмущение, но распространяющееся в сторону убывающих зна­ чений х. Итак, решение (6 ) представляет с о б о й сумму двух возмущений, бегущих по струне в противоположных направлениях со скоростью v 2 Г Р зависящей от натяжения струны и ее линейной плотности, т. е. от массы единицы ее длины. Вид функций определяется начальным смещением, т. е. смещением в какой-либо определенный момент всей струны, и распределением скорости отдельных частей струны по всей ее длине. Другое решение уравнения (3) принадлежит Даниилу Бернулли и относится к 1753 г. В решении Даламбера мы исходили из предполо­ жения, что переменные х и t входят не порознь, а в виде комбинаций х — Vt и х + Vt Решение Бернулли исходит из прямо противополож­ ного предположения, именно, из того, что искомая функция может быть представлена, как произведение двух функций X и Г, из которых первая является функцией т о л ь к о переменной х, а вторая функцией т о л ь к о времени t Н о , несмотря на эту полярную противоположность, эти решения при известных условиях могут быть тождественными, подтвер­ ждая один из основных законов диалектики — закон единства противо­ положностей. Итак, полагая вместе с Бернулли У=ХТ и подставляя в ( 3 ) , мы находим: (7) Л dt* ~ d*T ^ dt* dx & 2 или 1 V*T 1 d*X_ X dt 2 2 , * W * 1 Так как в выражении (8) мы имеем равенство двух функций, из которых одна есть функция только t, другая — только АГ, то отсюда ясен вывод, что условие может быть выполнено только в том случае, когда эти функции в отдельности равны постоянной. Так как на струне мы ищем, вообще, периодические решения, то мы должны считать по­ стоянную величиной отрицательной — а, , причем абсолютное значение может быть какое угодно, Отсюда ясно, что мы получаем, вообще говоря, бесконечное число решений, т. е. решение в виде бесконечного ряда. Итак, уравнение (8) распадается на два уравнения, частными реше­ ниями которых будут следующие четыре функции: 2 cos a v , r sin ctfX, cos a^t и sin a Vt. ( (9)