* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

120 ВОЛНЫ В У П Р У Г О Й СРЕДЕ И волны ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ [ч. I I Поэтому решение уравнения (3) можно представить: у = cos а Vt (A cos ар -f- B sin a x) - j - sin a Vt (C cos a x - f - D cos a x). ( 9 ) f ? t t L t t t t c l Так как величина a — произвольная, то решений (9&) может быть бес­ конечное множество; мы подходим, таким о б р а з о м , к решению с по­ мощью рядов. § 2. Решение задачи о струне, закрепленной в двух точках. Пусть струна имеет длину L , пусть о б а конца ее л = 0 и x = L г закреплены. Условие того, что струна закреплена, выражается в том, что при л = 0 и x — L у —0 при всяком /. г Вставляя в уравнение (9 ) х = 0, находим: Г у = cos a Vt • A + sin a VtC . t t t t (10) П о условию у —0 при любых значениях а это равносильно усло­ вию A — C =0. Поэтому, если конец л = 0 закреплен, мы в качестве г решения имеем: t ( j/ = sin a x(B i l cos a Vt-- D^m t a Vt) t 9 (11) L у = 0 при Далее, нам надо еще учесть условие, что и при x = всяком t, а это, в свою очередь, приводит к условию: sin 0 ^ = Отсюда: 0 , или a^L = TT, 2тг, Зтг, . . . ,ш. (12) Таким образом условие это при x — L, у=0 при всяком t сразу приводит нас к отбору значений постоянной a и определяет собой характер ряда. Вставляем (13) в (11) и распространяем сумму на все согласные с условием задачи значения постоянной а{. t i-OO 1Г • . *п ( inVt . _ У — V i sin -j-x ( ? , c o s - у - s i n п . inVt " X w ^ ^ /=i Таким образом вопрос о движении струны, натянутой между двумя точками, приводится к решению, имеющему вид тригонометрического ряда. Посмотрим теперь, какие возможны числа колебаний. Я с н о , что для определения числа колебаний или периодов надо обратиться в (14) к тригонометрическим функциям, содержащим время. Ясно, что эти функции должны иметь вид: cos 2 n N / , и an cos 2тг t 1 1 sin 2 ^ / , 2тг s i n - t, *i л и