* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

915 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 916 исключенная третьяго. Отрицашс подчиняется закону логпческихъ onepanifi), решаются логический уравдвойного отрицашя, согласно которому < д)=а.— нешя и т. д. На всехъ этнхъ спещальныхъ теорилхъ • Со времени Пеано въ логической идеографш играете мы здесь останавливаться не можемъ. Алгебра ло­ огромную роль введенный имъ символъ Е, служащий гики представляете въ настоящее время значительно длл пыражения отношешя п р и н а д л е ж н о с т и развпвшуиося научную дисциплину; но по существу (appartenance) между о т д е л ь н ы м е и н д и в и - она, какъ укаэываютъ представители ел, «остается д о м ъ н классомъ и радикально отличаемый логи­ заключенной въ области, установленной Аристотестами отъ символа =э, который прпменимъ лишь лемъ, т.-е. въ области отношешй виипоченш пошгтий къ отношенпо включешя между различными классами. и отношешй вывода предложешй» (Кутюра). Правда, Пеано ввелъ еще обратный этому символу знакъ з ] она рассматриваете эти проблемы значительно полнее, (выражающему понятие «совокупности индивидовъ») общъе ][ точнее, чемъ традищонная логика, но она и некоторые друпе, на которыхъ мы здесь остана­ не выходить изъ рамокъ ея. Между темъ, кроме вливаться не будемъ.—Изъ постулатовъ алгебры родовыхъ понятШ (понятий классовъ), есть еще многие логики отметимъ: принципъ тожества, выражающшел друпе виды понятШ, а кроме отношешй включешя, формулой: а э а , т.-е. всякое а есть а. Такъ какъ еще И много другихъ отношешй, которыя подве­ а з а и а э а , то, по данному выше определешю домственны логике. Изучешсмъ ихъ и занимается знака равенства, имеемъ: а = а, т.-е. классъ а логика отношений, иэследующая обшил свойства вел­ тождественъ самъ съ собой. Другой основной посту­ икаго рода отношешй. Отношеше называютъ в о з лате—это принципъ силлогизма, формула котораго в р а т н ы м ъ , если оно имеете место между х и х гласить: а =э b . b » с . э . а з с (точки между бу­ для всехъ возможныхъ значешй х. Такъ. отношен)о квами, по идее Пеано, эаменлютъ съ удобствомъ равенства возвратно, ибо всегда х = х . Точно также скобки), т.-е.: если всякое а есть b и всякое b возвратно отношеше включешя (п вывода), таисъ есть с, то всякое а есть с. Это, какъ мы впдимъ, какъ, согласно принципу тождества, х э х. Отно­ принципъ категорическая силлогизма, играющая шение называние с и м м е т р и ч е с к и м ъ, если, имея такую роль въ классической логике и являющаяся место между х ui у, оно имеете место также между здесь однимъ изъ постулатовъ исчисления классовъ.— у и х. Отношеше равенства симметрично, ибо пзъ Комбинируя постулаты М. логики съ свойствами х = у слёдуете: у = х (или, выражая это въ логи¬ операций сложения, умножешл и вычпташл, полу- ческой идеографш: х = у . з . у = х. Отношеше чаемъ необозримый рядъ выводныхъ формулъ, изъ «больше, чемъ» (пли «меньше, чемъ») не симме­ которыхъ некоторый въ виду своего особенно частаго трично, такъ исакъ, если х > у , то у < х . Точно применения выделяются въ качестве принциповъ такъ же не симметрично отношение, включешя (и вы­ или законовъ. Таковы, напримеръ, п р и н ц и п ъ вода); изъ включения: позвоночное => животное («вся­ у п р о щ е и i я (а о b э а и а=> а о Ь), п р и н ц и п ъ кое позвоночное есть животное») нельзя получить с о с т а в л е н и я и т. д.—Съ йсчислешемъ классовъ включешя: животное => ^позвоночное («всякое жи­ иредставляетъ формально почти полную аналогию вотное есть позвоночное»). Отношеше называютъ исчислеше предложений, таить что всякую формулу н е р е х о д н ы м ъ ( т р а н з и т и в н ы м ъ ) , когда, имея алгебры логики можно истолковать двоякимъ обра­ место между х и у и между у и z, оно имеете зомъ — и какъ теорему исчисления классовъ, и какъ также место между х и z. Такъ, отношешя равенства, теорему исчисления предложешй. Отношению вклю­ «больше, чемъ», включения—переходны, ибо, напри­ чения здесь соответствуете отношение в ы в о д а (impli­ меръ, если х > у и y > z , то x > z и если х э у cation) между двумя предложенилми, для котораго и у э z, то (по принципу силлогизма) х э z. Но пользуются т±мъже знакомь =>. Комбинащя: р э д скажемъ, отношеше отцовства не переходно: если (напримеръ: Сократе человекъ з Соисрате смер- х есть отецъ у'а, а у отецъ z'a, то х будете не тенъ) читается: «изъ предложенш р следуете предло- отцомъ, а дедомъ z'a. Рбсселль вводить въ исчислеше жешо q», или: «если р верно, то q верно», или: отношешй действия сложешя, умножения и рядъ дру­ «если q ложно, то р ложно», или: «либо р ложно, гихъ понятии, на которыхъ мы здесь останавливаться либо q верно». Все эти словесныя парафразы вполне пе будемъ—Какъ мы видели изъ даинаго выше тождественны. Если имеемъ одновременно: р => q н беглая очерка развития символпчесисой логики, судьбы q з р, то (по определешю) р =r q. Къ нредложешямъ этой, основанной математиками (Лейбнпцемъ и Бупрпложимы, какъ и къ классамъ, основныя логи­ лемъ), науки тесно связаны за последнш 25—30 лете ческий действия сложешя, умножешл и отрицашя п се проблемами основоначале математики. Движеше управллиощ1е ими законы. Такъ, напримеръ, р и q въ этомъ направлении шло не со стороны однихъ означаете альтернативное утверждение предложений: только логистовъ, но и со стороны математиковъ, «или р ИСТИННО, ИЛИ q ИСТИННО». Комбинация: p n q которые во второй половине ХГК в., поде влияшемъ читается: «р и q истинны одновременно». Согласно работъ Вейерштрасса, Г. Кантора и теоретиковъ не­ нерсместительному закону мы имеемъ, напримеръ: евклидовой геометрш, подошли вплотную исъ про­ р и £ = : q и р и p n q z r z q o p . Отрицаше предло­ блеме логической реконструкцш своей науки. Рес­ жения р изображается черезъ i р. Относительно селль видите ве логике общую и элементарную вслкаго предложешл и его отрицашя имеютъ место часть математики, а ве математике- приложеше законы, выражаемые формулами: р п >—i р =. А принциповъ логики къ некоторымъ спещальпымъ («совместное утверждеше р и н е - р ложно») и отношешямъ. Противъ этой тенденции растворить р и > — i p — V («альтернативное утверждеше р и математику въ логике и противъ переоценки вообще н е - р истинно»). Согласно закону двойного отри­ значеше логистики выступилъ съ большой энерпси цашя имеемъ: i (i—ip) = р («два отрицашя А. Пуанкаре въ известной полемике съ Рёсселлемъ даютъ утверждешя»). Принципу категорическая и Кутюра. силлогизма въ исчисленш классовъ здесь соот­ ветствуете принципъ гипотетическая силлогизма: Литература. О взгллдахъ Лейбница см. L . С о иp ^ g . q s r . s . р =5 г («если изъ р следуете q, t u r a t , «La logique de Leibniz d'aprfes des docu­ а изъ q следуете г, то изъ р следуете г»).—Въ алгебре логики рассматриваются логичесшл функции ments im*dits» (1901); о Ламберте и Сегнере см. (т.-е. выражевля, составленный изъ буквъ, выра- статью V a i l a t i , «La logique mathem. et sa dorжающихе классы или предложения, и знаковъ трехъ т ё г е phase de developpement dans les ёсгйя de M. J. Реапо» («Revue de Mdtaphysique», т. V I I , за 1899 г.), а также J. Y e n n , ^Symbolic Logics