* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

535 ИпТЕГРНР0ВАН1Б УРАВНЕНИЙ 53G Если сама искомая функщл по входить ивно въ урав­ = 0 и нзъ полученныхъ двухъ уравнешй исклю- неше, то порядокъ его молено понизить, если принять .чить у . Геометрически обшлй интегралъ y = F(x,C) за новую искомую—производную наиннзшаго по­ уравнешл перваго порядка ср(х,у,у') = 0 предста­ рядка отъпрежпей искомой. Равнымъ образомъможно вляетъ собою семейство крнвыхъ на плоскости понизить на единицу порядокъ уравнешл, если оно не (такъ назыв. пнтегральныхъ крявыхъ). Само урав- содоржнтъ независимой переменной х. Тогда нужно нен1е представляетъ зависимость между коорди­ принять за новую искомую у', а за новую пере­ натами х и у точки на интегральной кривой и менную у. Того жо молено достигнуть въ уравнении угловымъ коэффнщснтомъ касательной къ этой F(x,y,y'.., у ° ) = 0, если F одиородна относительно кривой въ этой точке, т.-е. оно выражаетъ неко­ у,у'... у*"\ Стоить только за искомую принять отноторое свойство касательной къ интегральной кривой. у' Особенное р е ш е т е есть огибающая семейства пнте­ шеше у « — 0 ) С и с т е м ы о б ы к н о в е н н ы х ъ с о в о ­ гральныхъ крнвыхъ. В ) У р а в н е н 1 я в ы с ш и х ъ к у п и ы х ъ у р а в н е н и й . Бываютъ случаи, когда н о р я д к о в ъ . Наиболее важный клаесъ—такъ назыв. приходится ръшать систему несколькнхъ уравнешй лпнейныя уравнешя, т.-е. уравнешл вида съ несколькими искомыми функциями. Вводя повыл Р о У + м ' ' + - + Р „ - , У' + Р п У = х (1) искомый, мы всегда можемъ привести всякую такую Д* P j Г u 1— Рп»Х функщй одного х, въ частномъ -систему къ системе уравнений только перваго по­ случае—постоянный числа. X называется послед- рядка каждое. Наиболее важный случай будетъ тотъ, когда число такихъ уравнений равно числу пнмъ или свободнымъ членомъ уравнения, р , P j . . . нензвестныхъ функщй, и можно решить эту си­ р его коэффициентами. Основное свойство лн- стему относительно нронзводныхъ искомыхъ функщй, иейнаго уравневия безъ последняго члена ( Х ~ 0 ) , такъ что опа приметь вндъ состоитъ въ томъ, что если y ^ y . j . . у суть какил du, л угодно частныя решения его, с +(a n 1 + n b x)y^- > + 1 1 + (a -bb x)y=0, которое интегрируется при помощи опроделенныхъ интеграловъ. Изъ нелинейныхъ урарнешй интегри­ руются только отдельные разрозненные случаи. Таковы, напр., уравнешл вида F(x,y< ) = n , 0, F(y^ - \ n 1 y< - >) = n 2 0, въ постоянную и прнтомъ—какую угодно, если вместо u„ u ... u подставить решения системы (2). Интегралы называются н е з а в и с и м ы м и , если ни одннъ нзъ нпхъ не выражается некоторой функщой отъ остальныхъ (безъ х ) . Неэависнмыхъ интегра­ ловъ для системы (2) имеется ровно п. Если нхъ знать, то будемъ знать и самый общи л решении си­ стемы: стоить только приравнять каждый интегралъ произвольной постоянной и решить полученный уравнен»! относительно u,u ... и,,.—II. У р а в н е й i u с ъ ч а с т н ы м и п р о и з в о д н ы м и отличаются оть обыкновенныхъ характсромъ техъ произвольных'!, элементовъ, которые входить въ составъ нхъ общихъ решений: вместо произвольныхъ постоянныхъ здесь появляются пронзвольныл функции отъ одной пли дажо несколькнхъ переменныхъ. Наблюдаются и болье сложны явления, когда, папр., произвольная функщл стоить подъ знакомь определениаго инте­ грала, ИЛИ ел аргументы оказываются зависящими отъ ея формы, такъ что при изменеши произволь­ ной функции меняются и ел аргументы. Огромная общность техъ вопросовъ, которые выражаются уравнениями съ частными производными, разно­ образие п сложность встречающихся здесь лвлешй служатъ причинами того, что теория такихъ урав­ нешй весьма далека отъ какой-нибудь закон­ ченности. Хорошо разработаны только уравнешл 1-го порядка. Тутъ мы имеемъ вполне исчерпы­ вающие методы (Копии и Якоби), которые сводить peiueuio такихъ уравнешй къ решению системъ обыкновенныхъ совокупныхъ уравнешй. Начинал жо со второго порядка, мы входимъ въ область настолько малоизученную, что иногда мы далее не знаемъ, какое решеше должно называться самымъ 3 n a