* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

533 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ 534 Илтегрирован1е диффереппДальв ы х ъ y p a u B i i e j a i u (определение и раздълсшс на категории см. Диффсренщальныл уравнешл). I . О б ы к н о в е н н ы й у р а в и е н i л. Обшлй видъ о б ы к н о в е н н а я уравнения порядка п съ одною искомою функциею у и независимой переменной х, есть F(x, у, у', у",... у > ) = 0 . .(1). Общимъ ИЛИ полнымъ пнтограломъ этого уравнешл называется такое его ръшеше: у = <р(х, С , С ... С ) , которое содсржитъ п незавпспмыхъ пронзвольныхъ постолнныхъ C С .... С (постоянный называются независимыми, если ихъ молено определить т а к ъ , чтобы—при заданномъ значенш х—у и его пропзводиыя у, у',... у < ) получили напсредъ задан­ ный значения). Само уравнение (1) получается черезъ неключеше постоянныхъ С,, С ... С нзъ общаго ннтс( п х 2 п lf 2 п п - 1 2 п грола y = 'f и его производныхъ у ' ™ ^ - , п у"=^,... придать у w а"» = ^ п Если въ общемъ интеграле произволышмъ постолннымъ какйл-нпбудь частныя значения или связать нхъ какими - либо соотно­ шениями, то о б mitt интегралъ обратится въ т а к ъ назыв. частное рЪшоше. Тейлору прпнадлежитъвесьма важное з а м е ч а ш е , развитое впоследствии'Эйлеромъ, Лагранжемъ и другими, что, кроме общаго Интеграла и частныхъ решешй, дифференциальный уравнения У' = р ( ? х + V y + c' ) ' * ' ' ' ' ' ' ' ' могутъ иногда допускать еще д р у п л решепи'я, не постоянныя. Далее" легко интегрируется таись назыв. являющийся частными случаями общаго интеграла. л и н е й н о е у р а в н е ш е , т.-е. у р а в н е ш е вида y'-j-Py^Q, Т а ш я р е ш е т я называются о с о б е н н ы м и . Напр.. где Р и Q функщй одного х. Къ линейнымъ же приводятся т а к ъ назыв. уравнения Бернулли (или уравнение у' = 2 | / у допускаетъ очевидное р е ш е т о обобщенное линейное): у' + Р у = Q y н уравнеу = 0, а между гЬмъ его oбщiй интегралъ есть nie Л а г р а н ж а у = хср(у') -f- <^(у'), где ср и 6 к а т я у = (х + С ) , нзъ котораго нельзя получить у = 0 угодно функщй. ЭТО последнее замечательно темъ, ни прп какомъ п о с т о я н н о м ъ значении для С. что для его интегрирования нужно сначала его Проинтегрировать дифференциальное у р а в н е ш е продифференцировать. Наконецъ, можно проинте­ значить найти в с е ого р е ш е т я , т.-е. общий инте­ грировать т а ш я уравнешл, которыя не содержать гралъ и особенный рёипошл (ибо частныя р е ш е т я явнымъ образомъ самой искомой функщй у пли ужо заислючены въ общемъ интеграле). Нередко независимой переменной х. Иэъ отдельныхъ слу­ даже довольствуются нахождешемъ одного общаго чаевъ упомянемъ такъ назыв. у р а в н е ш е Р п к к а т и интеграла, несмотря на то, что иногда истинное решешо задачи дается какъ-разъ особеннымъ ре~ y ' - f a y ™ Ь х , исоторое интегрируется въ конечино1пемъ. Причина этого та, что отыскаше особенныхъ решений представляетъ, вообще говоря, задачу иомь . „ д * . если „сказатель » оудегь вида более легкую, нежели отыскание общаго интеграла. гдЬ г целое и положительное число. Въ общемъ жо Основная постановка задачи объ И. дифференцдаль- случае оно интегрируется лишь прп помощи таисъ пыхъ уравнени'Й, конечно, завпеитъ отъ того, к а к ъ назыв. Бесселевыхъ функщй. Для интегрирования мы будемъ понимать слова снайтн в с е р е ш е т я уравнешй Mdx + Ndy = 0 Эйлеръ предложилъ дифференщальнаго уравнения». Обыисновенно понп- искать такой множитель р. (такъ назыв. интегри­ маютъ нхъ въ такомъ смысле: выразить эти р е ­ рующий), чтобы после умножения на него получен­ шения при помощи комбинаций к о н е ч н а г о числа ное у р а в н е ш е Mp-dx -f- Npdy = 0 содержало въ нзвестиыхъ намъ элементарныхъ функщй. Прп этомъ левой части полный дпфференщалъ, п, следова­ въ число нзвестныхъ намъ функщй включають не тельно, немедленно интегрировалось. Эйлеръ возлатолько основныл функции (алгебраический, показа­ галъ болышя надежды на этотъ способъ. Оне не тельный, логарпемичесшя, иеруговыя, тригонометри­ оправдались, т а к ъ к а к ъ отысканий множителя пред­ ческий), по и корни всехъ уравнений, составлен- ставляетъ, вообще говоря, задачу столь ж е трудную, ныхъ изъ коночнаго числа этихъ функщй, и, что к а к ъ п интегрировашс самого даннаго уравнения, в а ж н е е всего, т а к ж е и в с е неопределенные инте­ по эта идея в а ж н а теоретически и, кроме того, гралы отъ этихъ функщй (на томъ основаши, что модифицируя ее, Эйлеръ сумелъ найти несколько задача интегрировашя функщй считается более новыхъ весьма интересныхъ интегрирующихся слу­ эломои!тарною, уже изученною, когда прнступаютъ чаевъ. Особенный ръшешл уравнешй 1-го порядка исъ И. уравнений). Таисъ к а к ъ неопределенные всегда могутъ быть найдены, если знаемъ его общий интегралы называются иначе квадратурами, то интегралъ y = F(x,c). Для этого нужно составить такое интегрирование и называется ннтегрнров а ш е м ъ въ к в а д р а т у р а х ъ . Можно, однако, ставить уравпепие - ^ - = : 0 , решить его отноептельно С и вопросъ иначе; напр.: можно допустить (въ к а ­ честве рсссурса для и н т е г р и р о в а н а ) и комбинации полученныя значешя подставить въ функцию F(x,C). безчпеленпаго множества элементарныхъ функций, Тогда и найдемъ в с е особенныя р е ш е т я . Ихъ напр., безконечные ряды, или произведешь, или молено получить т а к ж е изъ самаго уравнения ср(х,у,у') = 0, если присоединить исъ нему уравнеше а вд а Ь с а Ь с n а 2 ш непрерывный дроби. Можно воспользоваться опре­ деленными интегралами. Можно, наконецъ, искать неточный выражения исисомыхъ решений, а липиь при­ ближенный, действуя, напр., по способу последовательныхъ приближений. К а ж д а я пзъ этихъ постаповокъ вопроса даетъ свои особенные методы ре­ ш е т я , дополняющи'е п совершенствуюшде другъ друга. Мы остановимся на первой точке зрения: интегрирований въ к в а д р а т у р а х ъ . При этомъ, исопечно, мы не должны удивляться тому, что лишь немнопс типы днфференщальныхъ уравпоинй будутъ доступны такому интегрированию, т а к ъ к а к ъ знаемъ уже, что д а ж е обыкновенный квадратуры не всегда могутъ быть выполнены. Наша задача приводится поэтому къ тому, чтобы перечислить наиболее важные пнтегрируюшдеся типы. А ) У р а в н е н и я перваго порядка. Общий видъ ихъ есть f(x, у , у ' ) = 0. Ихъ можно т а к ж е задавать въ виде y'z=cp(x,y) или M d x - j - N d y ~ 0 , где М и N функции отъ х и у. У р а в н е ш е Mdx + Ndy = О интегрируется легко, если Mdx 4- Ndy есть точ­ ный дцфференщалъ, напр. если М есть функция одного х, a N—одного у, ИЛИ если М и N являются произведениями некоторой функции одного х на функцию одного у, или если М и N суть однородный функщй одинаковыхъ изме­ рений (само уравнение называется тогда однородиымъ). Къ однороднымъ приводятся уравнения вида: