* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
529 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕШЕ 53G 1) Функщй, р а ц и о н а л ь н о составленныл лзъ х и где с некоторое среднее между а и b (первая теорема о среднихъ). 5) Если ^ ( х ) монотонна между ирращоиальности вида ^/Ах ^Вх-\-С (А, В , С а и b (т.-е. все время убываеть или всо время постолнныл). 2) Функщй, р а й о н а л ь н о соста- поэрастаетъ), то влонныя иэъ х и сколькихъ угодно корней ( к а ь с ь пихъ угодно степеней), если только подкоренная величина везде одна н т а же и имеетъ видъ ax-f b a a i , _|_ (a, b, а , b постоянный). где с некоторое среднее между а и b (вторая теорема о среднихъ). 6) Производная о п р е д е л е н н а я 3) Функщй вида x ( а + bx ) (двучленный ирращоналыюстн), если показатели in, п и р удовлетво- интеграла по верхнему и нижнему пределу: если рлютъ одному нзъ трехъ следующихъ условМ: dV m -f1 = f f(x)dx, то dz I) р целое, IT) — j - — целое число илн нуль, 2 а х m L р D Ш ) — ^ j — + р целое число или нуль. 4) Ф у н к щ й , р а ц и о н а л ь н о составлснныя нзъ Sin х и Cosx. 5) П р о и з в е д е т е сннусовъ илн косннусовъ к а к и х ъ угодно линейныхъ функщй отъ х. 6) Про изведешь цЪлыхъ функщй на показательную е и на Sin нлп Cos какой угодно линейной функщй отъ х. Интегралы же отъ остальныхъ функщй въ подавллющемъ большинстве случаевъ не могутъ быть найдены. Это и совершенно попятно, ибо подъ нахождешемъ интеграла мы подразумеваем!, здесь выражешо его чореэъ известный намъ эле ментарный функщй, а эти интегралы представляютъ собою повыл трапецендентныл функщй, который, по самой пхъ природе, не могутъ быть выражепы черезъ эломентарныя. Эта невозмоленость «найти» интегралъ чрезвьичайно полезна длл успеховъ науки, т а к ъ к а к ъ она приводить насъ къ познанш новыхъ функщй, обладаюшнхъ иногда весьма важными но выми свойствами. Т а к о в ы , напр., такъ назыв. эллип тический функщй, которыя теперь хорошо изучены и нмеютъ в а ж н ы я приложении.—II. T o o p i a о п р е д е л е н н ы х ъ и н т е г р а л о в ъ занимается изучешемъ нхъ свойствъ и р а з ы с к а ш е м ъ способовъ для иахождешя нхъ. П р о с т е й и п л с в о й с т в а о п р е д е л е н н ы х ъ ( и н т е г р а л о в ъ . 1) Прн перестановке пределовъ интегралъ только из мен летъ свой знакъ: ш х Формула J* а f(x)dx — Ф(Ь) — Ф ( а ) , показываетъ, что мы всегда можемъ найти интегралъ опреде ленный, если знаемъ неопределенный. Но, кроме того, имеются и д р у п е способы, пригодные спе циально длл определенных!, интеграловъ. Изъ нихъ важнейшими являются т а к ъ назыв. дпфференцнров а ш е и интегрирование по параметру, равно к а к ъ и некоторые приемы Teopin функщй комплекснаго персменнаго. Если нельзя найти о п р е д е л е н н а я интеграла точно, то мы всегда можемъ вычислить его приближенное значеше съ какою угодно сте пенью точности. Остановимся длл простоты н а предположении, что подинтегральная функщя по стоянно возрастаеть или постоянно убываеть между пределами интегрировашя (это условие можно всегда осуществить, пользуясь 2-мъ свойствомъ интегра ловъ, если только f(x) имеетъ конечное число maxima и minima между а и и). Раздвлпмъ проможутокъ отъ а до b на п частей (считаемъ Ь > а ) b—а и иоложпмъ — п — = Ь, х , = : а + Ь , x = a - j - 2 h , . . . г х _ ! — а + (n—l)h, b = а + nb. Ио второму свойству имеемъ a п ь Х | ;i Ь V = / f(x)dx. b a s, f(x)dx = J a f(x)dx + b j* fix)dx = — J b h с a + f(x)dx, s f i 1 f(x)dx +... + x f n-i f(x)dx, а по третьему где с к а к о е угодно число, лишь бы эти интегралы V = ( x - a ) f ( c ) + ( x - x ) f ( c ) + . . . + ( b - x _ ) % o ) . имели смыслъ. Общнес: где a < C i < x „ x < c < x . . . x _