* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

309 ДИФФЕРЕНЩАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕН1Е—ДИФФЕРЕНЩАЛЬПЫЕ ПОРШПИ аю Если теперь будомъ удалять параллель К К ' отъ крайней мере, одно такое с, для котораго f(c)=:0 оси ОХ, то точки К и К ' будутъ стремиться къ (знаменитая теорема Ролля). 3) Если f(x) суще­ совпаденш съ М, отрезки же PR и RP' (т.-е. числа ствуетъ для всякаго х между а и b включительно, п и к ) будутъ стремиться къ нулю. Заметивъ теперь, то можно написать f(b)—f(a) = (b—a)f(c), где с что k - j - n есть приращеше х при переходе отъ есть некоторое среднее между а и b (формула х = х — h къ x = x - f - k , мывидимъ, что если только Лагранжа). Эту же формулу можно написать и такъ Г(х) непрерывна при х = х , то мы въ пределе f(x + h ) - f ( x ) = b f ( x + 6h), 0 < б < 1 . ( h = 0 , k = 0 ) получимъ изъ травнешя (5) такое П р и л о ж е н и я Д. исчислеше охватываютъ теперь f(x ) = 0 (6) собою почти весь авализъ и геометрш. Оно учить т.-е. для maximum'a или minimum'a первая про­ находить maxima и minima функщй, находить изводная функщи f(x) должна обращаться въ нуль. предельные значения такъ назыв. неопределенно­ Это и даетъ ключъ къ отысканию наибольшихъ или стей. Оно нее даетъ знаменитую формулу Тейлора, наименьшихъ ординатъ, ибо соответствующий основаше всего учешя о разложеши фунтещи абсциссы являются корнями производной. Такимъ въ ряды, распол оженные по целымъ положнтельобразомъ и въ этомъ вопросе мы приходимъ къ нымъ степенямъ аргумента. На ряде же Тейлора понятно о производной. Соображетя этого рода основано почти все учете о кривыхъ лишяхъ и подвели Ферма весьма близко къ открытаю Д. исчис­ поверхностяхъ, которое такимъ образомъ является лешя почти эа сорокъ летъ до Ньютона и Лейб­ лишь однимъ изъ следствий Д. исчисления. Такъ ница. Отметимъ, что равенство (6) можно было какъ, далее, какъ мы видимъ, понятае о производ­ получить 'и иэъ предыдущаго, заметивъ, что въ ной связано съ понятиемъ о скорости (и ему анало­ точкахъ, где ордината наибольшая или наименьшая, гичными), то и все точныя науки опираются теперь касательная параллельна оси ОХ, и, следовательно, на Д. исчисление. — Литература. Нетъ никаисой оя угловой коэффищентъ (производная!) равенъ возможности въ краткомъ очери«е перечислить все нулю. 3) Пусть по некоторой прямой движется множество существующихъ разнообразныхъ курравномерно или нетъ некоторая точка М постоянно совъ Д. исчисления. Довольно подробный списокъ въ одну и ту же сторону. Постараемся построить более выдающихся сочинешй можно найти въ понятие о скорости этой точки. Пусть въ моментъ сЭнциклопедш математическихъ науисъ» (немецкое времени t разстояше М отъ некоторой неподвижной или французское издание). Для перваго ознаисомлеточки 0 (на той же прямой) равнялось f(t). Въ шя укажомъ: К По с се, сКурсъ Д. и интегральнаго следующей моментъ t-f-At оно будетъ f(t-|-At), исчислешя» (3-е изд., СПБ., 1911); Б. К о я л о в и ч ъ , такъ что въ промежутокъ времени At точка М «Лекщи по высшей математике» (т. I , СПБ., 1909); пройдетъ разстояше f(t-|-At) — f(t). Если бы точка Х а н д р и к о в ъ , сКурсъ анализа» (Шевъ); S e r r e t , двигалась равномерно, то скорость ея была бы «Сопгб de calcul diff6rentiel et integral* (6-е изд., П., 1911), есть и немецкая обработка того же курса, f(t+At)-f(t) 4-е и 5-е изд. (Лпц., 1911). Более современный At курсъ: Ed. Go иг sat, «Traite d' Analyse* (2 тт., Эта величина есть такъ наэыв. средняя скорость П., 1910—1911, началъ выходить и третий томъ). при прохождеши вышеупомянутаго разстояшя. Еслп Строго научный курсъ: С. J o r d a n , «Cours d'Anaтеперь промежутокъ At будетъ стремиться къ нулю, lyse de l'Ecole Polytechnique» (3 тт., П. 190У— то можно считать, что движете точки будетъ все 1894 — 96); Em. Czu ber, tVorlesungen liber менее и менее отличаться отъ равномернаго. Пре­ DirTerential- und Integralrechnung* (2-е изд., 2 тт. дельное эначеше отношешя (7) и называется по­ Лпц., 1911). Очень сжатый и стропй курсъ A. Geэтому скоростью точки въ моментъ t, а оно и ость, n o c c h i , cDifferentialrechnung und Anfangsgrtlnde по нашимъ определешямъ, производная функщи der Integralrechnung* (Лпц., 1899, русс, перев., f(t). Такимъ образомъ и въ этомъ вопросе мы при­ Шевъ). Сборникъ эадачъ: В ё р а Ш и ф ф ъ , «Сборходимъ къ понятаю о производной. Соображения никъ упражнешй по Д. и интегральнымъ исчисле­ этого рода и привели Ньютона къ создашю Д. ниями (2 тт. СПБ.). Относительно истории воз­ исчислешя. Переменную величину [въ этомъ при­ никновения Д. исчислешя см. Н. G. Z e u t h e n , мере f(t)] онъ наэывалъ текущею величиною (quan- tGeschichte der Mathematik im X V I . nnd X V I I . titas fluens), а ея производную—флюшей (fJuxio— Jahrhundert» (Лпц., 1903). Б. Кояловичъ. течеше, скорость), почему и Д. исчисление носило у него назваше метода флюкый. Эти примеры и Д н ф ф е р е н ц 1 а л ь н ы е п о р ш н и приме­ показываютъ, почему математика должна была за­ няются при пер оменномъ расходе воды прп подъеме няться разработкою способовъ для отыскашя пропзводныхъ. Огромная заслуга Ньютона и Лейбница и состояла, главнымъ образомъ, въ томъ, что они усмотрели единство въ вопросахъ, которые раньше казались разрозненными. Дальнейшая ихъ блиста­ тельный открытая были уже следствиемъ этой основной мысли. Лейбницу, кроме того, принадле­ житъ и заслуга выработки чрезвычайно удачныхъ символовъ, исоторыми мы пользуемся и доселе (символы Ньютона менее удобны). Чтобы изучить правила и технику Д. исчислешя, нужно, конечно, обратиться къ спещальнымъ трактатамъ, некоторые изъ которыхъ указаны ниже. Чтобы дать понятае о результатахъ, къ которымъ Д. исчислеше при­ водить, укажеиъ некоторые изъ нихъ. 1) Еслп производная существуетъ, то фунвпдя непрерывна (обратное можетъ и не быть верно). 2) Если f(a) = f(b) и для всякаго х между а и b включи­ тельно г(х) существуотъ (есть конечное, опре­ Днффвроапдалгаый поршвпь деленное число), то между а и Ъ найдется, по 0 0 0 o ( 7 )