* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

307 ДиФФЕРЕНЩАЛЬНОЕ ИСЧ ИСАЕ НПЗ 308 1;аждый такой вопросъ решать отдельно, особыми п р1емами для каждаго случая, но потомъ, въ особен­ ности когда была открыта Декартомъ и Ферматомъ аналитическая геометрия (1635—1637), обнаружи­ лось, что всъ ати задачи, при всемъ кажущемся ихъ разнообразии, приводятся къ одному и тому же аналитическому вопросу: найти ) пределе отношешя приращешя функщи къ соответствующему приращешю аргумента. Такимъ образомъ выяснилось, что необходимо научиться решать эту задачу: этому и посвящено Д. исчисление. Иэложимъ теперь вкратце важнейппя понятая Д. исчислешя. При этомъ предполагается, что читатель энакомъ съ основными понятиями о постоянныхъ и перемен­ ны хъ величинахъ, пределахъ, функщяхъ и независимыхъ переменныхъ. Пусть y = f ( x ) будетъ не¬ прерывная функщя отъ непрерывной независимой переменной х. Даемъ х некоторое приращение Ах, н пусть соответствующее приращеше функщи бу­ детъ Ду пли Af(x) [Ayr=f(x-fAx)—f(x)]. Составляемъ 1 и будетъ касательная МТ. Если перевести это построеше на языкъ анализа, то мы и придеиъ къ основной задаче Д. исчисления. Пусть X и Y будутъ координаты любой точки секущей, а х и у — координаты точки М Какъ известно иэъ аналити­ ческой геометрии, ураввение секущей ММ будетъ ± г 1а г ^ = 1 = 1 ° и л и Y - y = Ь = 1 ° ( Х - х ) . . (4). Ъ~ о 7i—Уо Xi—зсо Подоживъ для простоты х —Хо=Дх (на чертеже х 0 0 х Ч Е Р Т . Ч. М к/Т\* о рр отношение ^ и ищеиъ его пределъ при Д х = 0 . Дх Такой пределъ (конечно, если таковой существуетъ) отрезокъ PPj), имеемъ х . ^ Х о + Д х , у ^ ^ Х о + Д х ) , и называется производного функщи у или f(x), y = f ( x ) , и уравнеше (4) принимаетъ видъ взятою по х. Онъ обозначается символомъ у' пли Y - уо = fob+y-foafc _ f'(x), такъ что Я и, переходя къ пределу (Ах=0), получаемъ уравy ' = f ( x ) = пред. + y ~ приДх — 0 . . (1). Honie касательной МТ Изъ равенства (1) вытекаетъ такое У - у = ( Х - х ) пред. ^ o + A x ) ^ f ( x ) ^ Дх=0 х f(x + A x ) - f ( x ) _ Множитель при X —х въ ур. (5) есть очевидно Дх где в безконечно мало при безконечно маломъ х. не что иное, какъ эначеше производной f(x) при х = х . Итакъ, уравнеше касательной будетъ Отсюда f(x + Ax) —f(x) = Af(x)=f(x)Ax + Ax . . (3) Y - y = f(xo) ( Х - Х о ) , Поэтому безконечно малое приращение функщи т.-е. отыскан!е касательной приводится къ отысканiio распадается на две части: 1) f(x)Ax и 2) еДх. производной и обратно. Отсюда же видно и геоме­ Вторая будетъ очевидно безконечно малою высшаго трическое значение производной: она есть угловой порядка относительно первой. Значить, эта первая ковффещевтъ касательной, т.-е. тангенсъ угла часть и будетъ главною, преобладающею частью касательной съ осью ОХ. На томъ же чертеже 1 приращешя функщи. Ее и наэываютъ д и ф ф е - при безконечно маломъ Дх отрезокъ SM,(MS || ОХ) р е н ц и а л о м ъ функщи и обозначаюсь черезъ df(x) графически изображаете безконечно малое при­ или dy. По аналогии и вместо Дх пишутъ dx, ращение функщи, a SR—ея дифференщалъ. Прибли­ такъ что зительно такими же соображениями руководствовался ЛоЙбвицъ въ своихъ иэследовашяхъ. 2) Пусть тре­ df(x)=f(x)dx,f(x) = M?) (4). буется найти точку, такую, какъ М, въ которой орди­ dx ната некоторой крив j й- L больше или меньше всехъ Итакъ, дифференщалъ н е з а в и с и м о й переменной сиежныхъ (достаточно блиэкихъ) ординате. Другими есть ея безконечно малое прпращеше. Диффе­ словами, пусть требуется найти m a x i m u m или ренщалъ функщи есть произведете изъ производ­ m i n i m u m ординаты. Р£шеше этой задачи чрез­ ной функщи на дифференщалъ независимой пере­ вычайно важно для построешя кривой по ея урав­ менной. Дифференщалъ функции составляешь глав­ нению. Гешальный французсшй математнкъ Фермате ную часть приращешя функщи, которое отличается (Pierre de Fermat. 1601—1665) высказалъ прин­ отъ него лишь безконечно малыми высшихъ поряд- ципъ, носящий и теперь его имя и состоящий въ ковъ (т.-е. эквивалентно ему). Изъ уравнении (4) томъ, что по обе стороны отъ наибольшей или видно, что, зная производную, найдемъ и диффе­ наименьшей ординаты имеются ординаты, равныя ренщалъ и обратно. Поэтому отыскаше и проиэ- между собою и сколь угодно близкая къ наибольшей водныхъ и дифференщадовъ называется дифферен- или наименьшей. Въ справедливости этого принципа цировашемъ функщи. Теперь мы можемъ уже можно убедиться съ одного взгляда ва черт. 2, объяснить, какимъ образомъ раэсмотреше вопросовъ, где К К ' |Г ОХ и Р К и Р ' К ' и будутъ равныя о которыхъ говорилось раньше, могло привести къ ординаты. Переведемъ это соображение на языкъ открылю Д. исчислешя. 1) Пусть имеется кривая анализа. Чтобы найти искомую точку М, доста­ L (см. черт. 1), отнесенная къ прямоугольныиъ точно найти ея абсциссу O B = X Q . Ордината ея осямъ ОХ и OY и выраженная уравнешемъ y = f ( x ) . (RM) определится изъ уравнения кривой L . Если Пусть требуется провести касательную МТ въ оно есть y = f(x), то RM = f(x ). Пусть абсциссы заданной точке М этой кривой. Координаты точки М UP и ОР' точекъ К и К' будутъ соответственно пусть будутъ Хо и у , при чемъ, конечно, y = f(x ). х — h и x + k ( h = P R , k = RP'). Тогда по Для этого, какъ известно, нужно взять на кривой уравнению кривой P K = f ( x — h), P'K' = ffx H-k) смежвую точку Mj и провести секущую ММ и принципъ Фермата даетъ Затемъ нужно приближать точку Mj въ совпа­ дению съ М. Тогда предельное положение секущей f(x -h)=f(xo+k)' f(x + k ) - f ( x - h ) _ или (5). ) Въ т е п е р е ш ы х ъ терыннахъ. k+ h 0 0 1 о ) f ( l f ( x ) 0 0 0 д = f ( x ) + e ( 2 ) 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1в 0 0 0 n %