* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
70
ЧАСТЬ I. О С Н О В Ы ОПЕРАЦИОННОГО И С Ч И С Л Е Н И Я .
Справедливо обратное предложение.
Л е м м а 2. Еслидлявсех = ψ(χ; t ) и существуют при х, а^х^Ь, ^ имеет смысл F(х\ D)f , A= I
f
=
производные
2, 3, . . . , л , удо
влетворяющие
а<ж<Ь и £>0
f
условию
^±|<ф..|,
то существуют производные ведливо равенство (9.5).
OO
k x
A = O 1, 2, . . . , / г ,
F ^ (ж; р), A = I , 2, . . . , п, и
(9.6)
спра
Действительно, в силу условия (9.6) интеграл
F (ж; р) / (р) = ρ
J е-Р' ψ (ж; ί)Λ , о
OO
Re (ρ) > σ ,
η
можно дифференцировать η n
f t )
раз по параметру ж. Таким образом,
pt к)
(«ί Р) 1 (Ρ) = P \ e~ ¥* (*; О Λ . Re (;,) > σ , о откуда и следует лемма 2. Из лемм 1 и 2 следует теорема. Т е о р е м а 18. Если для к = O 1 , 2, . . . , л
0 t
Д ) / } = O (e··«),
или
(9.7) (9-8)
равенство
F<£\x; Z ) ) / = O (е-'),
независимо от x
t
а < х < 6 , mo справедливо ^{F(x; D)f) = F™(x;
D)f.
Обратимся теперь к вопросу интегрирования
Т е о р е м а 19. Пусть имеет = φ (χ; ί) и ξ (ж) такая, что
СО
по
параметру.
F(x\D)f —
смысл
оператор
+00
5 *
О
$ I ? (*; ί J Ê (*) I е ' '
а
с
