* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

688 Анализ цепей \гл 23 реляции, относящийся к математическому ожи­ данию для временного процесса в моменты вре­ мени i и t может быть вычислен из у р а в н е н и я (23-231)· t Sf , ч E [(Xjt ) 1 χ (t )\ % Q (l Е\х Q (Z )I E [χ 1 (/,)] X О X (h) где x(ti) и JC(^ ) — значения временного про­ цесса в моменты времени соответственно Л и i a <3χ(ίί) и <з (Z ) — стандартные отклонения временного процесса в моменты времени t и i . Н а практике более часто приходится иметь дело не с нормированным коэффициентом кор­ р е л я ц и и , а с корреляционной функцией (ненор­ мированной), определяемой в ы р а ж е н и е м s 3 t х 2 t 8 Ф(г = ь h) = E\x(U)x(h)\ я = (/ ) djcU,), (23-232) j Jf P i ) * ( ί * ) / W ι) * (ίι)) — OO где f[x(t\), JC(ÎS)] — ф у н к ц и я совместного рас­ пределения плотности вероятности для вели­ чины x(t) в моменты времени t и t . Заметим, что в случае, когда две случайные величины имеют среднее значение, не равное нулю, кор­ реляционная функция, определенная т а к и м об­ разом, не будет равна н у л ю , если случайные величины независимы. Часто встречается с л у ч а й , когда функция плотности вероятности χ (t) не зависит от t. В этом случае говорят, что временной процесс будет стационарным. К о р р е л я ц и о н н а я функция стационарного временного процесса зависит только от разности г t и ни от какой другой величины не зависит. При разности между мо­ ментами времени, равной τ, корреляционная функция стационарного временного процесса будет. x t ь 2 усреднением по времени. Приближенно можно считать, что множество реализаций стационар­ ного временного процесса обладает свойством эргодичности, з а исключением временных по­ следовательностей с нулевой вероятностью. Такое допущение справедливо, если из сово­ купности всех возможных временных процессов, относящихся к частной задаче, ни один из них не может рассматриваться как р е а л и з а ц и я эксперимента при неравенстве среднего значе­ ния по множеству реализаций и среднего по времени. Н а п р и м е р , можно предположить, что тепловой ш у м будет эргодичен. Следовательно, путем наблюдений, проводимых за источником теплового шума в течение долгого времени, возможно вычислить автокорреляционную функ­ цию посредством усреднения во времени. Если можно допустить, что стационарный временной процесс обладает свойством эрго­ дичности, то корреляционная ф у н к ц и я д л я не­ прерывного временного процесса будет: т Φ ( τ ) = lim 4 = T-y со 61 — 7 f x(t)x(t J + z)dt. (23-336) Аналогично д л я дискретного временного про­ цесса ф ' = l i m W I C JV-+oo 2N -г- 1 2 ""'JV -JV Л Л + (23-237) Г Г | | Из этих формул видно, что когда временной процесс обладает свойством эргодичности, квад­ рат величины математического ожидания вре­ менного процесса E[x\t)) будет: т E\x*(t)] И = Φ (O) = l i m 4 г со f-* (*) dt — T JV 8 (23-238) φ (τ) = £ X (t)x(t+t)f\x(t), °° X dx (t + τ). Χ(ί + τ)] dx (t) X (23-233) *Ι*?1 = Φ ( 0 ) = ^ ^ 2 r=—JV *l (23-239) Может быть определена д р у г а я функция, которая часто равна корреляционной функции д л я стационарного временного процесса. Она дается в ы р а ж е н и е м т = I i m \ х (t) χ (t + τ) dt. (23-234) τ Более того, когда стационарный временной процесс эргодичен, среднее или математическое ожидание χ будет: 7 E[x(t)]= lim Г-юо ^x (t) dt —T JV (23-240) Функция Ψ(τ) равна Φ (τ), если стационарный временной процесс обладает свойством эрго­ дичности. Стационарный временной процесс будет эргодическим, если со E [X J = Iim -rrrj 7Υ i X. i (23-:241) i=—JV E [g W l = 1 J g(x)f(x)dx = = lim о т . \g[x(t+ и)] du (23-235) для всех значений t, за исключением т е х , где вероятность временного процесса равна 0. Первый интеграл называется функцией усред­ нения по множеству g(x)\ второй называется Если можно допустить, что временной про­ цесс стационарный и обладает свойством эрго­ дичности,то предыдущие формулы дают основу д л я получения возможных статистических све­ дений из наблюденных величин временной по­ следовательности. Более того, можно обосно­ вать сделанные допущения относительно того, что временной процесс либо стационарен, либо обладает свойством эргодичности, применяя анализ наблюдений, выполненных н а д времен­ ным процессом, хотя выводы такого анализа связаны с довольно сложными статистическими вопросами.