* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
§ 23-20]
Основы
теории
вероятностей
и
статистики
687
или 0 25до < Ух + y + . 4 - У η < 2,25/ζσ .
р s а 3
Таким чтобы
образом,
2,25iw*
необходимо
2,2&ησ*
найти
такое
я,
Р
=
J
g
i
y
)
d
y
=
J
0,25«σ2
ν 7
^
W
x
0,25ησ3
ä
X ^=0,95. Пусть ζ = a y, тогда этот интеграл становится
2,2Ьпа2 2,25Л
п
вероятности д л я суммы многих независимых случайных величин примерно подчиняется нор мальному закону распределения. Если к а ж д а я из случайных величин χ и X х имеет соответству ющее мате мати чес кое ожи да н ие m m* т и соответствующие стандартные то математическое отклонения a
η л/2-1 - ζ / 2
где
 (2)
(
2)«/2Γ(«/2) ' '^-распределения обычно
со
Таблицы составлены
интеграла
д л я ^ A ( Z ) dz, т а к что необходимо интеграл:
П р и б л и ж е н и е будет особенно хорошим, когда ни одна из случайных величин, входящих в сумму, не преобладает. Хорошими примерами применимости центральной предельной теоремы я в л я ю т с я дробовой ш у м в в а к у у м н ы х л а м п а х и тепловой ш у м в активных сопротивлениях. 23-20о. Корреляция случайных величин. При сложении двух случайных величин χ и у, кото рые не я в л я ю т с я независимыми, уравнение (23-222) будет справедливо д л я математиче ского ожидания суммы этих величин. Однако при вычислении отклонения суммы двух зави симых случайных величин уравнение (23-225) будет несправедливо: *%+ = Е\(х + уГ-} -Е*(х + у) = Е (χ*) + + E (у*) + 2 £ (*у) — E (χ) — £ Су) — 2 £ (χ) E (у) = σ· + σ* + 2 [Е (X у) у s 2
i
а переписать вышеприведенный
2,25п со
P =
Ç
0,25η
со
h (ζ) dz=
£ h (ζ) dz— °?
¥ + J
— Е(х) E (у)] , = + ° + Spa O
у jc r
(23-229) (23-230)
0,25л
—
f Л (2) dz = 0,95.
2.25ft
где р называется нормированным коэффициен том корреляции и определяется выражением
л
Из таблиц'/^-распределения может быть состав лена следующая таблица:
со OO
__ E (x У)-E
t
а
(χ) E (у)
ху
а
(23-231)
л
Ç л (г) dz
0,&л
I
2,25η
h (г) dz
P
6 7 8 9
0,96 0,97 0,98 0,985
0,04 0,03 0,03 0,015
0,92 0,94 0,96 0,97
Из таблицы видно, что измеренная вели чина стандартного отклонения будет л е ж а т ь с вероятностью 0,95 в п р е д е л а х ± 50% от дей ствительного стандартного отклонения, если будет произведено восемь измерений. 20-20Н. Центральная предельная теорема. Функцию плотности вероятности д л я суммы многих независимых случайных величин обычно трудно получить, особенно тогда, когда функ ции плотности вероятности каждой из случай ных величин, входящих в сумму, различны. Однако при самых общих у с л о в и я х часто воз можно воспользоваться хорошим приближением для функции плотности вероятности, которое является результатом ц е н т р а л ь н о й п р е дельной т е о р е м ы . Грубо говоря, эта теорема постулирует, что ф у н к ц и я плотности
Коэффициент р изменяется между —1 и + 1 , поскольку он нормирован по множителю а <3у. Его название означает, что р есть мера того, н а с к о л ь к о одна с л у ч а й н а я величина зависит от другой, хотя такое определение и не я в л я е т с я строго справедливым. Именно в случае, когда две случайные величины независимы, коэффи циент корреляции равен н у л ю . О д н а к о если коэффициент корреляции равен нулю, то это еще не означает, что случайные величины неза висимы . 23-20п. Корреляционные функции, приме няемые к временным процессам; стационарные временные процессы и свойства эргодичности. В настоящее в р е м я коэффициенты корреляции находят наиболее важное применение в технике при изучении временного процесса, т. е. в не прерывной или дискретной последовательности событий, с в я з а н н ы х статистически т а к , что следующие друг за другом значения последова тельности не я в л я ю т с я статистически незави симыми. Если задан непрерывный временной про цесс x(t) то нормированный коэффициент корх х t
О б р а т н о е у т в е р ж д е н и е , т. е. что п р и р = U д в е с л у ч а й н ы е величины независимы, неверно, так к а к равенство н у л ю коэффициента к о р р е л я ц и и у к а з ы в а е т т о л ь к о на о т с у т с т в и е л и н е й н о й з а в и с и м о с т и вели чин. (Прим. р е д . )
1
