* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

682 Анализ цепей [гл. 23 Уравнения (23-200) и (23-201) дают мате­ матическое ожидание величин (х — с)* и назы­ ваются моментами второго п о р я д к а распреде­ ления вероятностей f(x) и P(X ) сосредоточен­ ных около с. Если с = 0, то эти математические ожидания часто называют просто моментами второго п о р я д к а . В м е х а н и к е х о р о ш о известно, что момент инерции д л я данного распределения масс будет минимальным, если ось вращения проходит через центр тяжести системы масс. Аналогично в теории вероятностей момент вто­ рого порядка имеет особое значение и будет минимальным, если центром д л я него будет ма­ тематическое ожидание случайной величины. Момент второго порядка, центром д л я которого является величина математического ожидания Е(х) = т называется квадратичным откло­ нением или вторым ц е н т р а л ь н ы м моментом. Д л я непрерывного и дискретного распределений вероятностей квадратичное отклонение σ * опре­ деляется соответственно следующими уравне­ ниями: r t ратичное отклонение μ = σ через моменты а. Р а с к р ы в а я уравнение (23-205), найдем, что 2 3 C O O O σ = μ 2 3 = £ x*f(x)dx—2m £ xf (χ) dx + — со + m 3 ^ f(x) dx = a — al = E (X ) — E s a ü (χ). (23-206) Это у р а в н е н и е с п р а в е д л и в о к а к д л я дискрет­ ного, так и д л я непрерывного распределений. Ясное представление о распределении вероят­ ностей можно получить, если моменты а на­ писать к а к коэффициенты при произвольной переменной ( — s ) j n \ в бесконечном ряду, а именно: п n у 3 Xf(s) = *o-*i fi + Œ 3 î ~ a a 3 T + "* ( 2 3 " 2 0 7 ) г = £ (х — / я ) f (х) dx\ N 9 (23-202) Если п о л а г а т ь , что р я д сходится равномерно в интервале — а < s < ε ( е > 0 ) , тогда ф о р м а л ь ­ ное представление yj(s) будет: со IW 4 = E (е-**) «)• P (х ), г (23-203) =S sx e- f(x)dx. (23-208) где m = Е(х) = — ^ xf (χ) dx; O O N m= E(x)= 2 /•=O X T p M - Квадратный корень из квадратичного откло­ нения называется стандартным отклонением σ случайной величины (см. § 2 3 - 2 0 ж ) . Оно являет­ ся хорошей мерой относительной концентра­ ции распределения по отношению к среднему. Моменты п о р я д к а выше второго могут быть определены т а к и м ж е образом, к а к и моменты первого и второго п о р я д к о в . Д л я непрерывного распределения момент «-го п о р я д к а а дается уравнением (23-204). Ц е н т р а л ь н ы й момент я-го порядка μ,, дается у р а в н е н и е м (23-25). Соответ­ ствующие моменты д л я дискретных распреде­ лений подобны п о форме у р а в н е н и я м (23-201) и (23-203): п Ф у н к ц и я Vj(x) называется характеристической функцией случайной величины х. К а к п о к а з ы ­ вает уравнение (23-208), она равна математи­ ческому ожиданию случайной величины e~ . П о л а г а я , что s— комплексная переменная s = = γ + / ω , y_f(s) есть преобразование Ф у р ь е функции f(x), если γ = 0; это будет двусторон­ ним преобразованием Л а п л а с а функции f(jç), если γ 7^ 0. Эти преобразования определены только в том с л у ч а е , если интеграл в уравнении (23-208) сходится абсолютно. Одним из п р и м е ­ нений характеристической функции я в л я е т с я вычисление с а м и х моментов. Из у р а в н е н и я (23-207) видно, что а равно ( — l ) , у м н о ж е н ­ ной на п-ю производную от //(s) при s = 0: sx r t п 4-1(-.*·¾¾-.. е м » Уравнение, обратное (23-208), определяется (при условии определенных ограничений относи­ т е л ь н о сходимости) у р а в н е н и е м (23-210): / (Χ) = ^ J J T « " ' / / ( s ) ds. (23-210) -JCO -S O O 1 x f(x)dxr, n (23-204) Уравнение,соответствующее характеристической функции непрерывного распределения вероят­ ностей, дается формулой (23-211): ,ν Xp(S)= г=О 2 ^- ( " й8ХГр{х 2 21 3 1) m) f(x) dx. (20-205) И з этих уравнений следует, что а = = 1 и O = m; μι = 0. Ч а с т о удобно вычислять квад0 г 0 n * о в нашей л и т е р а т у р е н а з ы в а ю т д и с п е р с и е й случайной величины, а а — средним квадратичным отклонением э ю н величины. (Прим. р е д . ) 1 В т а б л . 23-10 приводятся математическое о ж и ­ дание, стандартное отклонение и х а р а к т е р и с т и ­ ческие функции *jf(s) и '/pis) д л я н е с к о л ь к и х наиболее распространенных распределений в е ­ роятности. 23-20К. Другие распространенные распре­ деления вероятности. В табл. 23-10 содержится несколько распределении вероятностей, не упо­ мянутых р а н е е .