* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

S 23-20] Основы теории вероятностей и статистики 679 быть показано как ф у н к ц и я (непрерывная) плотности распределения f(x) (рис. 23-53, б), где / ( χ ) = dF{x)/dx. Д л я функции плотности вероятности площадь под кривой между точ­ ками χ = JC и je = JC представляет вероятность того, что напряжение на выходе будет соот­ ветствовать углу между X и х ; д л я представле­ ния в виде функции распределения та же ве­ 1 3 1 3 — OO — с о (23-194) В уравнениях je — нормированная переменная. Д л я того чтобы распределение сделать приме­ нимым в общем случае, χ можно заменить на другую переменную у, смещая начало -коорди­ нат у и изменяя масштаб, т. е. JC = у — m (23-195) рно. 23-53. Ф у н к ц и я р а с п р е д е л е н и я вероятности F(X) и ф у н к ц и я плотности в е р о я т н о с т и fix) д л я р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н н о г о у г л а поворота потенциометра. 1 роятность будет F (x ) — Ρ(*ύ· Обе функции и дискретного и непрерывного распределения изменяются между 0 и 1. Более того, все функ­ ции распределения (дискретного, а т а к ж е не­ прерывного) являются неубывающими функ­ циями χ. Если представить математически, то получим следующие соотношения, содержащие функции распределения F(x) и соответствующую функцию плотности вероятности: â χ F (χ) = P С- < χ)= J/(i)dÜ; (23-188) (23-189) О ^F (χ) ^ l ; (23-190) (23-191) F(co) = J / (χ) dx = 1. (23-192) Круглые скобки, охватывающие з н а к равен­ ства в уравнении (23-189), показывают, что если F(JC) я в л я е т с я разрывной функцией, т. е. функция имеет скачок при некоторой величине х то уравнение в этом случае не имеет смысла, так к а к f(x) при этом значении равна бесконеч­ ности. 23-20ж. Нормальное распределение как точ­ нее распределение. Наиболее полезным из всех непрерывных распределений является нормаль­ ное распределение (часто называемое распреде­ лением Гаусса). Д л я некоторых случаев его можно получить непосредственно из биноми­ нального распределения. Одна из причин, по которой это распределение имеет такую общую применимость, следует из центральной предель­ ной теоремы,которая рассматривается в §23-20н. Нормированная функция нормальной плот­ ности вероятности φ и н о р м и р о в а н н а я функция нормального распределения вероятности Ф(;с) on редел яются с л еду ющи ми уравнениями: у где m — среднее значение или математическое ожидание величины у, т. е. величина, вокруг которой концентрируется нор­ мальное распределение (см. §23-30 з); а —стандартное отклонение у* или, грубо говоря, мера того, насколько остра кривая распределения у (например, вероятность, ко­ торая л е ж и т между m — σ и m + σ, приблизи­ тельно равна 0,683). Когда д л я получения численных резуль­ татов применяются таблицы нормального рас­ пределения, то чтобы получить нормированные переменные, содержащиеся в таблицах, необ­ ходимо пользоваться уравнением (23-195). Л е г к о показать, что интеграл от у(х) P делах от — с о до с о равен 1 ; т. е. О ^ Ф(х) ^ 1. Нормальное распределение применимо при описании распределения амплитуды теплового шума в электронном устройстве. Распределение амплитуды шума точно описывается уравне­ ниями (23-193) — (23-195), где m равно нулю, а α — среднеквадратичная величина н а п р я ж е н и я шума, т. е. о = УAKTAfR где К = 1,38-IO" дж}°К (постоянная Б о л ь ц м а н а ) ; T — абсолют­ ная температура цепи, производящей шум, в градусах Кельвина; R — активная составля­ ющая полного сопротивления цепи, о л ; Δ / — ширина полосы пропускания цепи, гц. Нормальный закон распределения находит т а к ж е применение при анализе многих типов ошибок экспериментальных измерений и при оценке характеристик оборудования и систем. в n e 38 t Пример 23-32 Среднеквадратичная величина н а п р я ж е н и я иа выходе усилителя промежуточной частоты приемника радиолокационной станции, обу­ словленная шумами, равна 0,5 в. Предположим, что детектор «наличия сигнала» используется для того, чтобы у к а з а т ь на наличие н а п р я ж е ­ ния двух полярностей на выходе приемника, большего 2,0 в или меньшего — 2 в. В течение какого процента времени в среднем детектор будет указывать на наличие н а п р я ж е н и я , если имеются только шумы? Решение 1. Положим, что шумы имеют нормальнее распределение с с = 0,5 в. З а д а ч а состоит в том, ЧТОбЫ ВЫЧИСЛИТЬ Φ (СО) — Φ (JC ) + Φ (X ) — — Φ (— со) = 1 — Φ (х ) + Φ (JC ) где JC = s 1 3 1 1 a х _ V(X)=-^ 2 re ;. (23-193) = ( 2 , 0 - 0 ) / 0 , 5 = 4,0, a JC = ( — 2 , 0 - 0 ) / 0 , 5 = -4,0. t = у2« чины у. σ — среднеквадратичное (Прим. ред.) кели=_