* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

674 Анализ цепей 1гл. 23 роятность P (А или В) п о я в л е н и я либо A либо B либо появления AnB вместе равна 1 y Р(А или В)= P(A)+ P(B) — Р(А и ß ) , (23-176) t Т а к как Л и β — взаимно исключающие события, т. е. вероятность вытащить эту карту и в первый и во второй раз P (А и В) = 0 , то отсюда следует, что P (А или В) = VBS + ^ = 1 2 ι де P (А) — вероятность п о я в л е н и я A не учиты­ вающая появление В; P(B) — вероятность по­ явления B не учитывающая появление Л ; Р(А и В) — вероятность совместного появления Л и В. Уравнение (23-176) выводится из рассмотре­ ния пространства выборок, составленного из вероятностей несовместимых событий, которые представляют все возможные пары встречаю­ щихся событий и в которых комбинация А и В я в л я е т с я одной парой. P (Л) есть сумма вероят­ ностей, описываемых выборочными точками, представляющими событие А в комбинации с другим событием. P(B) определяется т а к и м же образом P ( Л и В) — вероятность, опреде­ л я е м а я выборочной точкой, представляющей комбинацию событий А к В. Обе вероятности P (А)н P (В) содержат вероятность P (А и В), так что ее н у ж н о вычесть из суммы P(A) и P(B) д л я того, чтобы получить уравнение (23-176). В случае, когда Я (Л и В) = 0, го­ ворят, что события А и В взаимно исключаю­ щие (несовместимые). Д л я трех событий Л , В и С i 2. Подобно этому вероятность того, что одной из двух вытащенных карт будет туз чер­ вей, равна ^ . 3. Вероятность Р(С и D) вытащить обе кар­ ты — даму и туза определяется уравнением (23-178): 1 a e P (С и D) = P(C) P (DfC) t где С — вытаскивание дамы; D — вытаскивание туза. Вероятность того, что одна нз двух карт будет тузом, если известно, что д р у г а я будет дамой, равна Vei» следовательно, Р(С 1 и D) = ~ 26 1 51 1 1 326 4. Вероятность Р(С или D) вытащить либо туза, л и б о даму, либо обе карты будет тогда: P (С или D) = P (С) + P (D) — P (С и D) = - 26 + 26 " Т 3 2 6 Биноминальное 7326" ~ ° ' ° 7 6 1 7 ве­ P (Л или В или С) = + P(A)+ P (В) + + 23-20в. распределение P (С) — P (А и В) — P (В и С) — P (С и А) + P (А а В и С). (23-177) У с л о в н а я в е р о я т н о с т ь есть ве­ роятность появления одного события после того, к а к известно, что произошло другое событие. Д л я двух событий Л и В P (BfA) означает ве­ роятность появления события B после того к а к произошло событие А или просто «Я после Л». Применение этого определения приводит к теореме умножения вероятностей, а именно: t P (А и В) = P(A)P (BiA) = P(B) P (AjB) (23-178) Д л я трех событий A B С t t роятности. Функции плотности вероятности. Во многих технических задачах возникает во­ прос относительно вероятности появления собы­ т и я Л точно г р а з , если испытание повторяется η р а з , где п^г. Если результаты каждого испы­ тания независимы, то эта вероятность дается биноминальным распределением. Положим, что вероятность определенного результата Л испы­ тания определяется к а к P (А) = р . Тогда ве­ роятность того, что Л не появится, может быть определена к а к 1 — P (А) = 1 — ρ = q. Б и ­ номинальное распределение определяет вероят­ ность P (ν = г) появления А точно г раз при η испытаниях: гп-г (23-180) P (А и В и = P(B)P(CfB) С) = P (A) P (В/A) P (С/А и В) = P(AfB и С) и т. д . (23-179) где ν — число появлений r n результата А ; Если P (BiA) ~ P (В) или если P (AfB) = = P(A) то говорят, что д в а события AwB взаимно независимы. t Пример 23-27 Если случайно вытащить две карты из ко­ лоды в 52 карты, то какова вероятность выта­ щить даму п и к или туза червей, или обе карты? Решение При вытаскивании д в у х карт к а ж д а я из них имеет одинаковую вероятность быть дамой пик, а именно Vss- Вероятность вытащить эту карту либо в первый, либо во второй р а з опре­ деляется уравнением (23-176): P (А или В) = P (А) + P (В) — P (А и B) t где Л — появление дамы при первом вытаски­ вании; В — появление дамы при втором вытаски­ вании. C — число сочетаний из л элементов по г (см. уравнение (23-175)]. Наименование «биноминальное распределе­ ние» вытекает из того факта, что коэффициент соответствует коэффициенту при r-м члене в биноминальном разложении (р + а) . Биноминальное распределение приложимо к любой серии повторяющихся независимых опытов, где д л я каждого опыта имеется две возможные вероятности ρ и 1 — р . Такие опыты называются опытами Б е р н у л л и . Распределение вероятности или, более точно, функция (дискретная) плотности вероятности, с в я з а н н а я с этим биноминальным процессом, п о я в л я е т с я тогда, когда д л я данного числа опытов рассматриваются все возможные вели­ чины ν, а не только одна величина v. Графиче­ ское представление функции плотности биноми­ нального распределения для η = 5 и ρ — 0,6 показано на рис. 23-49. Функция плотности достигает своей максимальной величины вблизи п