* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

*' 23-20] Основы теории вероятностей и статистики 673 или цифрой, если достаточно хорошо известны условия, при которых монета подбрасывается, а именно: начальное положение, н а ч а л ь н а я скорость, атмосферные данные, распределение массы монеты и т. п. Однако и без этих данных, и без громоздких вычислений можно установить (предполагая, что монета уравновешена относи­ тельно ее оси поворота), что монета, подбрасы­ ваемая «случайным способом», будет в среднем падать «гербом вверх» число р а з , равное поло­ вине бросков, т. е. вероятность падения монеты «гербом вверх» равна половине. Трудно уста­ новить точно, что означает «случайный способ», но под этим подразумевается, что различные условия каждого броска монеты отличны друг от друга и являются либо неизвестными и (или) не могут быть предсказаны. Теория вероятностей основана на предпо­ сылке, что частота появления отдельного ре­ зультата в процессе эксперимента стремится к конечному пределу, когда число повторений опыта возрастает. Т а к , вероятность P(A) от­ дельного результата А в пределе равна частоте появления результата А: η л (N) P(A) = Um -^if-* N—* со N где (23-174) вероятностей, определенных m выборочными точками (см. § 23-20, б). При вычислении вероятности событий, когда число возможных исходов конечно, часто удобно пользоваться одной из двух формул. Одна из них определяет число возможных перестановок η событий, т. е. число различных способов распределения η событий. Число перестановок равно: п\ = п(п— 1), . . . , 3, 2, 1. По другой формуле вычисляется число сочета­ ний из η событий по г, без учета порядка г событий. Н а п р и м е р , для четырех событий а, Ъ, C d, взятых по три, сочетание acd получается только однажды, хотя существует шесть пере­ становок трех букв, а именно: acd, adc, cad, cda, dac, dca. Число сочетаний C из η событий, взятых одновременно по г, будет: y r n Пример 23-26 Если случайно вытащить две карты из ко­ лоды в 52 карты, то какова вероятность выта­ щить туза вместе с фигурой, либо десяткой? Решение 1. К а ж д а я точка пространства выборок рассматривается к а к отдельная комбинация двух карт. Следовательно, общее число выбо­ рочных точек определяется формулой для C т. е. сочетанием из η карт, взятых по г, где η = = 52 и г = 2, 52J 52 - 51 CC = = 1 326. η r\(n — r)\ 21 50! 2-1 Т а к к а к каждый результат равиовозможен, то вероятность, определяемая каждой выборочной точкой, будет Ziage* 2. Число выборочных точек, соответствую­ щих возможным комбинациям туза с фигурой либо с десяткой, равно 4 • 16 = 64, т а к к а к в колоде из 52 к а р т и меется 4 туза и общее число фигур и десяток равно 16. 3. Вероятность вытащить туза вместе с фи­ гурой либо десяткой равна сумме вероятностей выборочных точек, соответствующих этим ком­ бинациям, или r nt 1 N — общее число опытов или наблюде­ ний; η (Ν) — число появлений результата А в опытах или наблюдениях. П о л ь з у я с ь этой формулой, вероятность нельзя определить эмпирически, т а к как по­ требовалось бы сделать бесконечное число опытов и наблюдений. О д н а к о вероятности мо­ гут быть вычислены на основе ожидаемых ча­ стот появления различных результатов. Со­ здание математической модели д л я вероятно­ стей различных результатов состоит в построе­ нии пространства выборок * всех возможных исходов опыта. Рассмотрим опыт, при котором получается η несовместимых результатов, т. е. таких, что никакие из них не могут появиться в процессе опыта одновременно. С каждым из этих результатов приводится в соответствие выборочная точка в пространстве выборок. Далее, каждому результату соответствует не­ которая вероятность, т а к что каждой выбороч­ ной точке т а к ж е соответствует вероятность. Таким образом, пространство выборок состоит из совокупности точек, с каждой из которых при­ водится в соответствие вероятность, равная ожидаемой частоте п о я в л е н и я несовместимого результата, соответствующего выборочной точке. Если появление каждого из η несовместимых результатов равновероятно, вероятность, при­ водимая в соответствие с каждой выборочной точкой, равна 1/л. Полезность описываемого метода определения вероятности с помощью пространства выборок п р о я в л я е т с я главным образом при вычислении вероятности любого числа результатов, п о я в л я ю щ и х с я в опыте. Если имеется η несовместимых событий, то вероятность того, что одно из m этих событий (т ^ п) появится в процессе опыта, равна сумме Λ J Точнее было бы с к а з а т ь г е о м е т р и ч е с к о й модели. (Прим. р е д . ) З д е с ь пространство п р и м е н я е т с я к а к синоним слова м н о ж е с т в о . (Прим. р е д . ) 2 1 W · · 23-206. Основные правила для комбинаций событий. Если результаты опыта являются «несовместимыми событиями», определяемыми посредством пространства выборок (§ 23-20а), то вероятность появления одного из нескольких несовместимых событий равна сумме вероят­ ностей каждого из них. Вероятность совмест­ ного появления более чем одного события равна нулю. Хотя всегда можно поставить задачу о вероятности, выразив ее через ве­ роятность несовмести мых событий, часто бо­ лее удобно воспользоваться теоремами сло­ жения и у м н о ж е н и я . Д л я вычисления вероят­ ности появления одного или более событий по­ лезна теорема сложения вероятностей. Д л я двух событий AuB (которые не обязательно я в л я ю т с я «несовместимыми событиями» и, сле­ довательно, могут появляться совместно) ве- 6 4 i s s 0 0 4 8 2 7 22 Справочник радиоинженера