* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

§ 23-19] 23-19. А Л Г Е Б Р А ЦЕПИ Алгебра цепи 67! t оси x а другой — на оси у . Это может быть выражено так: А = х+ )A I= А 2 Значительная часть алгебраических вы­ ражений, встречающихся при выполнении рас­ чета электрических цепей, возникает к а к ре­ зультат того обстоятельства, что многие возбу­ ждаемые токи и н а п р я ж е н и я я в л я ю т с я либо синусоидальными по форме, либо могут быть представлены в виде ряда синусоидальных гар­ монических составляющих. Основные величины, определяющие синусоидальное н а п р я ж е н и е , по­ казаны на рис. 23-47, а. Изменение амплитуды можно выразить к а к функцию у г л а θ следую­ щим образом: X = Acosb-A v jy; (23-145) (23-146) (23-147) Vx +у*; Ь = arctg Если уравнения (23-146) и (23-147) решить от­ носительно χ и у , то получатся следующие соотношения : χ =, I A I cos θ; y=\A\sm θ. (23-148) (23-149) V = A sinö; J = ωί = 2πί (23-143) Следовательно, поскольку вектор у повернут на 90° против часовой стрелки относительно вектора X выражение для А может быть пере­ писано т а к : t м е T — период синусоиды. А = I AI (cos θ + j sin θ), (23-150) я&1п AtQbB 1 a) Sj Рис. 23-47. С и н у с о и д а л ь н а я ф у н к ц и я . где з н а к плюс означает вращение вектора А против часовой стрелки. П о к а з а т е л ь н а я форма. Век­ торные величины могут быть выражены в пока­ зательной форме с помощью следующего соот­ ношения: efl = cos 0 + у sin Θ. (23-151) Следовательно: Из уравнений (23-142) и (23-143) можно видеть, что величины χ и у могут быть выра­ жены в графической форме как абсолютные величины проекций соответственно иа горизон­ тальную и в е р т и к а л ь н у ю оси отрезка линии длиной Л , повернутого на угол θ от горизонталь­ ной оси. Это представление показано на рис. 23-47,6. 23-19а. Математические формы комплекс­ ных величин. При представлении синусоидаль­ ных электрических величин с помощью вектора А (отрезок линии А с угловой координатой 0), показанного на рис. 23-47, б, необходимы ана­ литические средства д л я поворота вектора во­ круг начала координат. Д л я этой цели исполь­ зуется математический оператор /. Если век­ тор умножается на ± /, то он поворачивается на ± 90°, при этом абсолютная величина век­ тора остается неизменной. Если вектор С умно­ жается дважды на /, то результирующий вектор / C будет повернут на 180° от первоначального положения вектора С. Т а к к а к отрицательный вектор имеет ту ж е самую величину, но направ­ лен в противоположном направлении, т о / = = — 1 или 2 3 А = I А 1 (cos θ + j sin θ) = I A \ e$. (23-152) П о л я р н а я форма. Уравнение (23-150) может быть т а к ж е выражено в поляр­ ной форме: А = \А\е$ = \А\Ъ . А (23-153) 23-196. Математические операции с ком­ плексными величинами. При выполнении рас­ четов цепи должны быть выполнены соответ­ ствующие математические операции: сложе­ ние, вычитание, умножение, деление, возведе­ ние в степень, извлечение корней и логариф­ мирование. Трудность выполнения указанных операций во многомзависит от выбранной формы комплексных чисел. Это поясняется следующим примером. Если A = a+ja' B = b + jV= C = c + jc' = \C*ej C= то A + B + C = (a + b + c)+j(a' + b'+cy, (23-154) B = \A\ej A=\A \В\е*в=\В\\Ъв\ \C\hc, B /= У~\. (23-144) Третье умножение на / будет поворачивать вектор С на 270° от основной оси и обозна­ чается — jC. Умножение на / поворачивает векторные величины против часовой стрелки. Умножение на —/ поворачивает векторные величины по часовой стрелке. Д е к а р т о в а форма. Величина вектора может быть выражена к а к сумма двух векторов, расположенных под углом 90°, при­ чем один иэ составляющих векторов л е ж и т на А + В + С = I V(a + ô + c) + (a'+ô' + c')l (23-155) А+В+ где e = a r c t g [(α' + b' + с')/(а + b + с)]. С = | У(а + Ь + с)* + {а' + Ь' + с')\\^ (23-156) a