* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ГИДРОАЭРОДИНАМИКА
й07
Плоское безвихревое движение. Уравнения для плоского установивше гося движения несжимаемой жидкости записываются:
f,
6 v
J
dv
x
1 £Р_.
1 ЁЕ.
P ду
dv
dv.
Линия тока ф(лг, у ) — const и линия равного потенциала < {X у) — const об р разуют сетку взаимно ортогональных линий в каждой точке плоскости х, у. Функции < и ф удовлетворяют урав р нению Лапласа и, следовательно, явля ются гармоническими функциями. Циркуляция по контуру ABt
(В) Г = J v di
t
(В)
— j (Vxdx + V dy)
v
=
Уравнение
неразрывности
OVx
(А)
(А) J <*р-<р(В)-ср (Л).
dv
b
dx ^ dy
В случае плоского установившегося движения, в том числе и вихревого, уравнение неразрывности допускает введение функции тока ф (х, у). Проекции скорости через функцию тока записываются:
V
t
dy*
V
> = - d x -
Направление вектора скорости совпа дает с направленнём касательной к ли нии тока ф (ж, у) — const. Поток жидкости через л ю б у ю линию, -соединяющую две одни и те же линии тока, есть величина постоянная и на ходится по формуле (фиг. 4 )
кВ)
J v dt
n
Если потенциал скоростей будет не прерывной и однозначной функцией ко ординат, то циркуляция по замкнутому контуру равна нулю. Комплексный потенциал с к о р о с т е й . Функция W = < -т- /ф комплексного пе р ременного Z — X + /у, где i «= V—\* на зывается комплексным потенциалом. Комплексной скоростью называется производная от комплексного потен циала: dw . _/ — - V - I v - ve l/(COSfl—/slni).
а x v
где а — угол наклона
V С ОСЬЮ X
y
вектора
скорости
и
(В)
f (Vjdy Vydx) -
<А>
(А)
- (>
(А\
Ф(0)-ф(Л) =
с -с
2
1 (
где А и В—точки,
лежащие на двух различных линиях тока. Проекции век тора скорости на оси координат че рез потенциал ско ростей записываю тся:
Любая аналитическая функция ком плексного переменного может быть рас сматриваема как комплексный потенциал некоторого потенциального течения жидкости, причем действительная часть будет потенциалом скоростей, а мни м а я — функцией тока. Простейшие случаи потенциальных движений. 1) Р а в н о м е р н ы й поток, па раллельный о с и х. Комплексный — U. Потенциал dz скоростей < — Ux; функция тока ф = р = Uy. Проекции скорости на коорди натные оси v = U Vy=* 0. Линии тока — прямые, параллельные оси х. Линии равного потенциала — прямые, парал лельные оси у . 2) Р а в н о м е р н ы й поток, па раллельный о с и у.
x t
потенциал w
Uz;
dtp
dx
t
dp t
•
v v
^ d f -
Потенциал скоростей и функция тока связаны между собой соотношениями
dtp
'дх
W —
-
д<\>
IW dw ... IV z\ — — — — i V \ dz
dy
;
dy
дх '
<Р-Уу;
<\>~-Vx\
V -O
x
t
V=
v
V
