* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 267 выше при некоторых значениях I ) , на­ зывается соприкасающейся окружностью ( к р у г к р и в и з н ы ) . Ее центр (а, 6 ) , на­ зываемый еще центром кривизны, и R — радиусом кривизны, находят по формулам 0 Для центра а = (а, Ь) кривизны X — X — R s\n а = da dx da ' b = у + R cos а = у + х а = Ar — 0 ' H- у X у o n —X п у о д: + у — X у о О , X п у 'Г ' Ц е н т р кривизны л е ж и т на нормали кривой в с т о р о н у ее в о г н у т о с т и . Е с л и / С > 0 , то центр кривизны л е ж и т на п о л о ж и т е л ь н о й части нормали. Кривизна в каждой точке прямой л и н и и постоянна и равна н у л ю . Кривизна в каждой точке о к р у ж н о с т и с радиусом R постоянна и равна по абсолютной Примеры: 1) Для обыкновенной циклоиды (фнг. 22) величине - ^ - . R д: у Для кривой у = —х / (.г): у ü = х I -Ь V 2 7?—У Ь= У + 1 + у'* ^ r - X => a (t — 61 п О, У = а (1 - с»з t) радиус кривизны R = -Aa я= Для кривой а = X (1 + У' ) Знак минус указывает, что центр кривизны всегда находится на отрицательной части нормали. Координаты (х,, у,) центра кривизны у) = 0: X 1 2 F(x, = a {t + sin 0, у , = — а (1 — c o s f). х н у F; x и так как у , = — у , at — х = х , — д/, то центр кривизны С и точка M кривой симметрично рас­ положены относительно точки А на прямой MAC* ь = у J i F y - R И = Для F F (F* + И F\,) C(Xf,y ) f 1 v j r j r — 2F F F x y xy + FF. t x yy Фиг. 22. Длина нормали н радиус клоиды. кривизны ци­ кривой г = /(<р): Радиус кривизны равен удвоенной длине нормали: R = МС=2ЛМ. 2) Радиус кривизны логарифмической спирали а (Г2+Г'2)' Г 2 + 2/"- — 1 г ' = ame V M — тг, г" = ат е * х т = mV; ГГ" радиус кривизны R = TYX-Y TTix Величина ной кривой. / = С Если •^- называется кривиз¬ а — угол — угол точке и точками, касатель­ каса­ кри­ между ной с о с ь ю OJC, Да тельной в данной этими касательной то в соседней т о ч к е , As — длина д у г и вой между т. е. в каждой точке логарифмической спирали радиус кривизны пропорционален радиусу-вектору точки. Для нахождения координат ( х , , у , ) центра кри­ визны составим параметрические уравнения лога­ рифмической спирали: X = ае * т соз 91 у т ае * м sin ?; X ' = ае 9 AS ds yt — (т cos ? — s i n ?); m m