* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 2Г)1 У г л ы касательной н нормали с осями координат. Е с л и п о л о ж и т е л ь н о е напра­ вление касательной (в сторону возра­ стания дуги s) о б р а з у е т с п о л о ж и т е л ь ­ ным направлением оси х у г о л а, то cos а = -т— ; s i n а == ds Q W dx . dv ds = а COS В, - где р = ~2 а есть у г о л касательной то у = Ал* + 6 , как предельное п о л о ж е ­ ние касательной в бесконечно удаленной точке, есть асимптота. В случае алгебраической кривой F (x у) = 0 , где F (x у) — многочлен относительно X у степени л , наклонная асимптота у = kx + b находится по правилу: в уравнение кривой вместо у подставляют kx + Ь и в получен­ ном равенстве F (x kx + b) = A X + t t t t 0 n с о с ь ю у. П о л о ж и т е л ь н о е направление нормали получается из п о л о ж и т е л ь н о г о направле­ ния касательной поворотом последней на те угол - ^ против движения часовой стрелки. У г о л O п о л о ж и т е л ь н о г о правления нормали с о с ь ю х равен 1 + Aix - + a 1 + 0 А _ х+ п х A n = O по­ на­ cos а, == — 1 dy -7— ds ; 9 s i n а, = — — . 1 , dx л а г а ю т A = 0 , Ai = 0 , откуда находит действительные значения д л я k и Ь. Асимптота, п а р а л л е л ь н а я оси O y , x—a найдется из уравнения /* (а, у ) = О, в • котором коэффициент при старшей сте­ пени у приравнивается н у л ю и опреде­ л я е т с я соответствующее значение а. Д л я кривой г = / (tp) с = tp опреде­ р л я е т асимптотическое направление, если г = / ((р ) = с о . П о л о ж е н и е самой асимп­ тоты найдется, если еще знать расстоя­ ние р от полюса до этой асимптоты: t 0 0 ds р = Асимптоты. Бесконечно удаленной I l m г s i n (<р — Cf )0 точкой на линии называется точка, у которой одна или обе координаты обращаются в бесконечность. Асимптотой кривой в ее бесконечно удаленной точке называется прямая, расстояние до которой от точки на кри­ вой стремится к н у л ю , когда точка по кривой удаляется в бесконечность. Ветвь кривой, уходящая в беско­ нечность, но не имеющая асимптоты, назы вается 0 Примеры: 1) Найти асимптоты алгебраической кривой у ) = х ' - х у + у = 0; F(x kx f b) ш (1 - А) x + ( A - f c ) x + fr = 0, Л 5 l - j f c = l); Д , в в А — £ = 0, откула А = 1, 0 = 1; уравнение асимптоты у = х + 1. Для нахождения асимптоты х = а составляем F{a у) = (1 - а ) у + а ' = 0 . t a 0 t парабол ической 0 0 ветвью. Если д л я кривой X = X (/), У = У ( О при / = / , X (Z ) = с о , у ( f ) = b Ф с о , то у = Ь — асимптота, п а р а л л е л ь н а я Ох\ если X (/„) = а Ф с о , у (Z ) = о о , то X — а — асимптота, п а р а л л е л ь н а я Ov. Если x(t ) = 0 0 , у (t ) — 0 0 , то асимп­ тотой ( н а к л о н н о й ) в точке t = / на кривой будет прямая 0 0 0 0 В уравнении алгебраической кривой 2-го по­ рядка отсутствует член у . Приравняв нулю коэф­ фициент при у, находим а — 1; кривая имеет асимптоту X -» 1. Нет асимптоты у — Ь, парал­ лельной O x ибо при старшем члене X коэффи­ циент равен 1. Z t 2) На линии X = _ . у = _ ^ беско­ нечно удаленные точки имеются при /, — " 1 ; '? = = — 1; /, = ± с о . Исследование концов ветвей даег а l 1 a ( при / = 1 X = T оо, у = + оо, о= A = H m — /-I * у = у = kx + b t где k = Ilm Q у ( t ) ; / = I i m [у (/) — & * ( / ) ] , > t-t Q C=Hm , , , ' , „ - = - 7 ' f-l'l'-r-l) ^ -X-P-P Пш , — — 2 ^ - 1 ) 1 асимптоту у = — j - X д /-1 'У - *х) = 3 — ; мы нашли наклонную 3 — ; при R ^ > ° , , , / = I -f- а - х =» ' > " • t~t x{t) если эти пределы существуют. Д л я кривой у = 1(х) асимптоты на­ ходятся так ж е , если п о л о ж и т ь х = t. Е с л и существуют пределы Hm I-ML = k, I-A, J t ' ( О « т = ^ - " - ' = J где К — ордината точки асимптоты, у — ординнта точки линии (фиг. 6); при / = — 1, 1 1 х ^ г - , у — ± оо, асимптота х = — . прн2 * чем при / - — 1 + « , X > <* - 0); f = — 1 — е, K j t y - + c o ( Ü < J 1 [у W Щ у - - о о J (О < е - 0); при / - — оо, X - — со, у - Uоставаясь отрицательным; при / — - J со, х — -J-оо,