* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 221 СПЕЦИАЛЬНЫЕ l l ФУНКЦИИ В частности, хЪ" + Px(X)Xy' уравнение + р г Пусть ^ Уъ — фундаментальная си­ стема решений л и н е й н о г о однородного дифференциального уравнения У*+ Л W y ' + P i W y - O - W y - O имеет Pi = 0 при х = а +а^х+ 1 O + bzx + ., искать в виде У = 0 особую точку. Если X + P = *о+ M T то решение можно 2 8 2 Если известно одно частное решение > i ( x ) , то второе частное решение Уг= C y ^ e - ^ a OO У AX, k k /;=0 1 * d x , ( 5 ) причем A Ф 0. Д л я неопределенных коэффициентов п о л у ч а ю т с я уравнения 0 где С — п р о и з в о л ь н о е постоянное. О б щ е е решение неоднородного уравне­ ния У"+Pi М У ' + Л W V = Z W |г (г—\) \(r + \)г + + +Otf а 0 + Ь\ A 0 0 = 0 i 0; + (г + + 0 г 1) + Ь \ A Ь Ао = 0; H- ^rA 0 K r + 2) ( г + 1) + O (г + 2 ) + O 1 До) A 2 + имеет вид У = У 1 (г+ I M i+ a rA^b A + 2 l l M o = 0. (б) Г у м , а*1 У ) ? J У 1 У — У2У1 2 f . dx + А + A ,v . J y i y - W i где ^ i А2 — п р о и з в о л ь н ы е постоянные; Уъ У?. — фундаментальная система ре­ шений соответствующего однородного уравнения. Е с л и в уравнении Уч У (Х) 2 1 У И з уравнения г (г — 1) + O г + Ь = О, называемого опоеделяющи/л, находим корни Ti и г . Е с л и разность г —г не 0 0 2 х г O O равна целому ч и с л у , T o j f OO 1 = х Гх ^A X i k lt * A=O у 2 = х* 2 г ^A-** определяют фундаA A-O м е н т а л ь н у ю систему решений. Здесь и A ff ft K Po W у* H- P 1 (X) у ' H 1 Р г (х)у 2 t = f (X) получаются из системы линейных через ФУНКЦИИ P ( J f ) , P (Jtf), p (x) /(х)— многочлены или р а з л а г а ю т с я в степен­ ные сходящиеся ряды из целых неотри­ цательных степеней х — х , причем Ро( а) Ф 0» то решения уравнения тоже выражаются сходящимися рядами по степеням х — Jt - Ч т о б ы найти решение вида 0 0 х 0 уравнений 1 (6), где г k заменяется T для получения A лучения вольные том А" \ К и через г% для по­ А^ФО Ряды — произ­ сходятся в ряды AQ Ф О, постоянные. же промежутке» где сходятся 2 у = A 0 + А } (х — j c ) + А (х 0 2 — JC )2 0 + следует подставить этот ряд в урав­ нение и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х — x получить уравнения д л я A A A -. Е с л и P (X ) = 0 , т о в некоторых с л у ­ чаях тем ж е методом м о ж н о п о л у ч и т ь решение в виде с х о д я щ е г о с я ряда 0t 0t it ZT 0 0 PiW и P WЕ с л и T — г есть целое п о л о ж и т е л ь ­ ное ч и с л о или н у л ь , т о , вообще говоря, получается указанным способом одно решение у\. Р е ш е н и е y независимое л и н е й н о от_Уь отыскивается при помощи формулы (5). Фундаментальная система решений имеет вид 1 2 2t yi и y z - Я У 1 I n JC + V 1 A=O 2 0 со у - A (х — * о ) + A 0 г 1 ( х - Jf J + 0 r 1 + + А 2 ( х - х й ) г + 2 + .... где г — вообще нецелое число. где 5 = c o n s t , В/с = c o n s t . Уравнение Бесселя. х*у + ху' + _|_ (х — V ) у = 0 ; •V — постоянное. О п р е ­ деляющее уравнение г (г — 1) + г — v = г — N = О имеет корни г = ± у. 2 2 2 2 2