* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

220 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ных функций (см. стр. 219). Суще­ ствует обратное преобразование (фор­ мула Р и м а н а - М е л л и н а ) решение х (/) лагаем T (P) можно найти проще: на простейшие раздроби J f W - - ^ J V ' * а—too (4) по ее ла- определяющее функцию x(f) (стр. 156), для каждой простейшей дроби находим по таблице лапласовых преоб­ разований соответствующую функцию; искомое решение равно сумме найденных таким образом функций. <Рх Пример. Найти решение уравнения — — tPx dx — — + 4 — 4х = соз 2t удовлетворяющее начальным условиям х = 0, х , = 0 . х , = 1. Здесь t 0 пласову преобразованию х(р) и спра­ ведливое при у с л о в и я х : х(() имеет не­ прерывную п р о и з в о д н у ю , I X (t) I < Ue где k и с — п о л о ж и т е л ь н ы е постоян­ ные. Интеграл берется по прямой, параллельной мнимой оси в плоскости комплексной переменной р и располо­ женной Гд^е угодно справа от всех особых ci 4 f(t) f(p) = cos 2t; J(p) = = Р cos ItdU t Из таблицы преобра- точек функции х (р). Пусть дано линейное дифференциаль­ но? уравнение с постоянными коэффи­ циентами dx n P . Применение P + 4 эования к уравнению дает 2 лапласова — P + 4р — 4) jr = 1 H - d~x n x , 3 1 P P + * ' 1 dt" dx dt Уравнение р — P + 4р — 4 = 0 имеет р, = I , р2 у = ± 2 i , следовательно. корн» ( р. + 4 ) ( р _ |)х (р) = 1 + — - ^ P t = -р /J +P-И + Г • a Решение этого уравнения, удовлетво­ ряющее начальным условиям х = х , 0 откуда dx d~ n l x х{р) = + P + 1 (P-I) ( p ' + -*!'' дроби I F s j f l - S i = = T - * * - ! при£-0. Разлагаем правую часть на простейшие может быть найдено следующим обра­ зом. Над каждым членом данного урав­ нения совершаем л а п л а с о в о преобразо­ вание и обозначаем ä(p) = р + aip ~ + + ... + + й . Если принять во п n ] п и находим A p _ i T Bp + С -H 4>> ^ Mp-j-A р» + 4 внимание начальные чается уравнение П у с л о в и я , то полу­ А (Р)х (P) = (Р ~ + + 0\ (р ~ х п 2 0 ] X +...+ 0 п рх _ п 2 + х _ х ) _ г + + 9 6 х п 1 (1 1 г 3_ а 1 2 + ... + р х т а _ 2 ) + ~ /7 "25 + 4 25 р 4 - 4 " + + л a - (px n 2 0 + xi) + Из таблицы находим в _1*о + 7 ( ^ ) » ? ( р ) . уравне­ 2Г с о з 2 0 - -|гcos называемое вспомогательным нием для данного дифференциального уравнения с данными начальными у с л о ­ виями. Отсюда 2/ - Sln 2* X (/) = -~ е* - -^ r (sin 2t + 2 cos 21)- Искомое решение находим по фор­ м у л е ( 4 ) . Е с л и «р (рУ— многочлен, то - ^ ( 7 s i n 2 Г + 2 4 с о е 2t).