* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЫКНОВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го ПОРЯДКА 209 функцией, [у(р)фр]: F (У» Р ) 0 можно параметризовать: у = « ( О , P = V ( 0 , тогда = Считая X искомой аргументом, находим dx р — ( V J 9 (О «(О Л + С , _у = U (Оу = pt\ у' (р) р f dp (р) iP) р- (р) .1/ ? Пример, р — у* (а — р) — 0. из данного уравнения at* P = -T-T-=- : У = аР Пусть Из соотношения dy = р dx d x = получаем = l ± L . ^ ± n at' I l + / )» d 1 t l±JL l + f* dt% ' откуда — линейное уравнение. Общий инте­ грал его вместе с исходным дифферен­ циальным уравнением дает параметри­ ческое представление о б щ е г о интеграла уравнения Л а г р а н ж а . Если f (р) — р = 0 имеет корнем P = C , то у = < ( C ) х + ф ( C ) есть осо­ р бое решение уравнения Л а г р а н ж а . Уравнение Клеро у = рх + ф ( р ) тем же методом дифференцирования при­ водится к уравнению 0 0 0 Решение: x = . r - | - 2 a r c t g ; r + С; у = я/» T-T-Jj. jj£ № ' ( У ) + -«1=0. а) ^ 5. можно = Если уравнение F ^ , в p^ = О виде параметризовать p = i/(r). F\u(t), = 0, р=С. Общему интегралу w(/)]=0. (/) то, дифференцируя соотношение у—хи по х, получим dy da dt у = Cx + ф ( О соответствует семейство прямых. б) ( р ) + X = 0; исключая р из < / ( р ) + X = 0, у = рх + ф ( р ) , получим | особый интеграл уравнения К л е р о . Гео­ метрически особый интеграл означает о г и б а ю щ у ю семейства прямых, предста­ в л я ю щ е г о общее решение (см. стр. 210). Пример. Найти кривую, отрезок касательной которой между осями координат равен а = const. Если у / ( X ) — искомая кривая в системе хОу, то касательная Y — у =• у' [Х — х) отсекает на осях отрезки OB = у — ху' J откуда t/ — и = jcü или X dx и' V-U н OA-= Х У ' dt— уравнение Общее с раз­ реше­ деленными ние: переменными. С а'dt (фиг. 2). Получаем уравнение У' Г У У X=CeJv-U- y = x u ( Q в t У 6. Если уравнение F (х, у , р) = 0 со­ держит у или X в первой степени, на­ пример у = / ( х , р ) , то d y = p d x , P= äf о X Фиг. 2. Фиг. 3. Астроида. + , д/ dp и е с л и д л я последнего (У - ХРУ + ар { Х Р = * а У =хр ± уравнения найдем общее решение р = = ¥ (х, С ) , то общее решение исходного уравнения уравнение Клеро. I Vl -T-P У-fix. <РС*. О). Общее его решение у = C x ± аС Vl-I-C» . Oco- Уравнение Л а г р а н ж а у = х ? ( р ) (р) решается -указанным приемом. После дифференцирования по х п о л у ч а е м бый интеграл получим, исключая P из уравнений а ар X ± • = 0 и у = хр ± _ ; вставляя (1+Р )/* Yi-T-P 1 I сюда X = ф — . найдем у = / я а а а/ а/ (1+Р*) Исключение р дает (фнг. Щ. —. (H-P»)' х » + у э = в % (астроида) а 1 ± 14 Том 1 Зак. 1-164