* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

208 Линейное уравнение ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го порядка уравнение в частных производных, с л у ­ жащее д л я определения ft. Пример. Линейное рующий множитель уравнение имеет интегри­ В с л у ч а е Q(x) + P M y = dy\ = 0 в уравнении dy -Jj T c j 0 (однородное относительно у и -~ J переменные разделяются, и его общее решение имеет вид у = С<р ( х ) , < ( х ) = е~ f Р Решение неоднород­ ного (исходного) уравнения ищем в форме у = ütp ( х ) (метод вариации произволь­ ной постоянной). Общее решение имеет вид P ( J f ) d x Уравнения 1-го порядка, не разре­ шенные относительно производной. В общем виде уравнение 1-го порядка dy F (x у , р) = 0 , где р = определяю­ щее р как неявную многозначную функ­ цию от x у , разрешают относительно р: P=h (•*. У)' P = / (•*• у), . . . , р = f (x. у) (ft — однозначные, непрерывные ветви многозначной функции р). Е с л и общие интегралы этих уравнений O i ( х , у . С ) = 0, Фа (x у . С) = 0 , . . , Ф (х, у , С) = 0 , то общий интеграл исходного уравнения имеет вид t t 2 n t у ^ e - ! P d x ( С + J QgiPdx ^ dx л Уравнение Бернулли (•X y t t С) Ф ? (x t у, С).. . Ф „ (х.у. Q = O . сводится к линейному становкой г = у~ + . Уравнение Риккати п 1 уравнению под­ у = а(х)уг+Ь(х)у + с(х) вообще не интегрируется в квадратурах, но решение существует в с и л у теоремы Коши (см. стр. 2 1 0 ) . Е с л и известно одно частное решение y j ( х ) , т о подста­ новка у = ух + г приводит к уравне­ нию Б е р н у л л и относительно z. Уравнение в полных дифференциалах. Уравнение M (x t ' В некоторых с л у ч а я х можно найти общий интеграл без т о г о , чтобы искать явные функции р от х, у . 1. Е с л и уравнение имеет вид F(x, р)=0 и может быть решено относительно х, то, дифференцируя х = / ( р ) , получим dx= Г (р) dp; (P) dp. так как dy = pdx. то dy=pf О б щ и й интеграл дается ским представлением x - f ( p ) ' . y - C + $pf параметриче­ (р) dp. y)dx дМ + N (x dN , t у) dy = 0. в котором = ( у с л о в и е интегри­ руемости), называется уравнением в полных дифференциалах. Л е в а я часть Mdx+ Ndy есть полный дифференциал некоторой функции и: du = M dx + + N dy = 0, и решение имеет вид и = $М(х, y)dx (x + у) dx] dy = С. Исключая параметр р , можно общий интеграл п о л у ч и т ь в виде Ф ( х , у , С ) = 0 . 2. А н а л о г и ч н о рассматривается урав­ нение F ( у , р ) = 0 . Е с л и у = / ( р ) , т о dp+ С. +j [ N (x t у) - А |л< 3. Е с л и F (x р) = 0 можно параметри­ зовать: t t x = то u(t).p = v(t). и F\u(t), ©(01=0. Если M dx+ N dy не является полным дифференциалом некоторой функции, то существует так называемый интегриру­ ющий множитель f i ( x , у ) , умножением dy = pdx = v(t)u'(t)dt решение и 1 на который уравнение приводится к виду в полных дифференциалах. У с л о в и е д (y.Af) д (^N) интегрируемости = — ~ — - есть ду дх П о л у ч а е м общее трической форме: х~и в параме­ (0. У = Jt/ (0 (0 dt + С. 4. А н а л о г и ч н о получается общее ре­ шение уравнения в случае, когда