* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЫКНОВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го ПОРЯДКА 207 Чтобы выделить частное решение, надо задать С или задать значение _у искомой функции у , принимаемое при X= 0 при условии ab\ — а\Ъ 0. Е с л и жеаЬ\ — а\Ь = 0, то дифференциальное уравнение преобразуется = х. 0 к виду ^ ах + = Решить ( п р о и н т е г р и р о в а т ь ) дифферен­ циальное уравнение — значит, найти все его решеиия. В следующих с л у ч а я х удается выра­ зить общий интеграл в конечном виде или через неопределенные интегралы (в квадратурах). Уравнение с разделенными перемен­ ными имеет вид M (ж) N(y)dx + P (X) Q(y)dy~ 0. / i (ах ~\~Ьу)\ подстановка v « by приводит уравнение к виду с разделен­ ными переменными. Пример. Найти форму зеркала, которое вселучи, выходящие из точки О, отражало бы парал­ лельно данному направлению. Ищем форму зер­ кала в виде поверхности вращения с осью их (данное направление); точка О — начало коорди­ нат. Пусть сечение поверхности меридианной' плоскостью х О у есть у =/(х) — искомая кривая, M (х, у ) — текущая точка. Дифференциальное уравнение получится, если приравняем (фиг. 1)< Общий f интеграл его dx + М(х) Q N (у) (у) dy = С. В некоторых с л у ч а я х предваритель­ ной подстановкой уравнение сводится к этому типу. Например, уравнение dv -j^— f(ax + by), где а, Ъ — постоян­ ные, заменой функции у новой неизвест­ ной функцией и = а е + by сводится д к виду ^L-bf(u) + а. Фиг. 1. K определению формы зеркала. Однородные F(x, m уравнения. условию Функция если она тангенсы углов BMT и OMT (угол падения равен, углу отражения): OM — падающий луч, MB — 1 у) называется однородной, (х.у)\ т — степень отраженный, MN — нормаль: t g BMT «= ——: MNO удовлетворяет =• t F F (tx. (у) = M(x y)dx-\однород­ t однородности. Z OMN = *. Z. BMN = Z = ZP; 1 Дифференциальное уравнение -(- N (дс, у ) dy = 0 называется Z а = Z 3: ON = OM = Ух*-\- у ; _ D W ным, если M и N —однородные функции одной и той ж е степени однородности. Уравнение можно преобразовать к виду O i M T = — - a; t g О/ИТ, « 1 ctg « = ctg 0 = r a — отрезок P/V = PO + ОЛГ = - х + V Jr" +JK . Диф-^ ференциальное уравнение - ^ - ™ или • ^ - = — — + | / " ( у ау -х-т- V x T T r 1 - J + 1 — однородное. Зач Замена и = — приводит его к уравнеX г у мена Ü = водит ах л V или у = их к dy du , ----- = х - ^ - + и при­ udu Vl -T-U -(I-X-U ) t t уравнение виду нию с разделенными Уравнение вида ах + dx J переменными. by 4 - с by } — уравнение с разделенными переменными.. \ ах х + 9 -к C • ) • 1 Но проще решать уравнение R искусственно: 1 у dy + X dx = V X ' + у d x ; где a, b, C аь Ь\ с\ — постоянные, приводится к однородному подстановкой JC — и + а, у — f - f Р; постоянные а, 'р находятся решением системы уравнений аа + Ь$ + C = 0 , fl,a + 6,р + Ci = О 1 2 V г" •f У s 1 1 откуда V x ' + y = X - T - C или у = 2Сх + C параболы с фокусом в начале координат. Искомая форма зеркала — параболоид вращения.