* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 151 /^ (JC) + / 2 (JC) + схо­ [а, Ь], то услоини, так как ряд I-H /» + 1ш + ' / * + • • • P " ходится. 1 1 a c Если дится ряд Если. принять сумму данного ряда 1 1 равной отбро­ равномерно на отрезке I _ • I , + »/* — . . . -H ( — I V ~ • J L . то шенный остаточный член выражается бесконечным рядом * „ = ( - ! ) * причем I R rt л=1 [ J p l - - - I f f - J p j - . . — L — . Итак, в втом случае по¬ " я H-I I грешность не превышает . л + 1 I< (т. е. ряд можно ровать). Степенным почленно дифференци­ ряд . . . + рядом называется а) + вида Q 0 + a i (х — о) + + а п at (х — 2 (х - а)" + л ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ; РЯДЫ ФУНКЦИЙ Если задана бесконечная последо­ вательность функций / i ( х ) , / 2 ( х ) , . . . , /«(*)» • о б л а д а ю щ а я тем свойством, что при л ю б о м фиксированном значении аргумента X = J c на некотором отрезке [_, Ь] числовой ряд Z (Jt ) + / (XJ) + + + f n ( * i ) + • • . сходится, т о выра­ жение Z (X) + /a ( J C ) + + f „ (X) + называется сходящимся на отрезке [а, о] л 1 1 1 2 1 где O , a i , а з , . . . . а и а — постоян­ ные; в частности, может быть о = 0. Степ е иной ряд с ход итс я абсолютно д л я всех значений х , у д о в л е т в о р я ю щ и х неравенству | х — а | < р, где р — радиус сходимости степенного ряда, который определяется по ф о р м у л а м 0 P J_ P Hm Л— OO а л-И Л-»•OO ' функциональным = / ( х ) — его рядом, суммой. a lim2 /ъ(х)= OO Функциональный вается равномерно t ряд 2 A=I ZkW назына от­ Н а границах промежутка сходимости (а — р, а + р ) ряд может сходиться и л и р а с х о д и т ь с я . В с я к и й степенной ряд с радиусом сходимости р > 0 есть равно­ мерно сходящийся на л ю б о м отрезке, принадлежащем п р о м е ж у т к у е г о схо­ димости. Пример. Ряд 1H- - у + - у - -H . . . -H -H... сходящимся резке [ с , b] если при л ю б о м задан­ ном = > 0 можно указать такое целое число N не зависящее от х, что при л > N неравенство | R (х) | = | / „ ( х ) + +/„-1_1 ( х ) + | < е будет иметь место 1 n имеет — = l i m _ 1 , т. е. р = 1, и ряд P л-оо л сходится абсолютно для — 1 < х < -H 1; при л: = — 1 ряд сходится условно, а при J f e l ряд расходится. для любого значения х на о т р е з к е [а, Ь). Сумма равномерно с х о д я щ е г о с я на отрезке [а, Ь] ф у н к ц и о н а л ь н о г о ряда, члены которого Z i M i / М , . . . являются непрерывными функциями, предста­ вляет непрерывную функцию /(JC) = 2 Е с л и при безграничном увеличении числа членов ф о р м у л ы Т э й л о р а и л и формулы Маклорена остаточный член R стремится к н у л ю в некотором про­ м е ж у т к е (а, ß), то степенной ряд n OO •= 2 /3 = /л W 1 н а т о м ж е отрезке. 2 Пели ряд JJ (JC) + / (X) + сходится OO раиномерно на отрезке [а,Ь] и У,/ (х)= /Д + + ^S / "- < ) + -" J L ( 1) a сходится к функции / ( х ) межутке* в этом про­ Л=1 / U). то а л=1 а (т. е. ряд можно почленно интегрировать).