* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

150 Признак мости сходимости Ряд ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ и OO и расходиIп I С Х 0 убывающая функция д л я всех х , б о л ь ­ ших некоторого значения х = а, и OO Даламбера. ' I "л I —/(«)р л=1 яд I* дится, если U m L ^ I i L i < 1 ; ряд л—оо расI i m 2 1 л1 с х о д и т с я , если л=1 и и — x t V < / расходится, если ходится, если I l m I Л-OO I> U n 1; в случае, любом п Х-оо (X) I когда H m Л—OO и 7 1 + 1 I = 1 и при l « J отношение I "л-н1 > 1 , ряд расходится; 1 п+1| Ц этот предел > 1. Признак Л е й б н и ц а ( д л я знакочере­ дующихся рядов). Ряд IU I — I U I + H- I U I — I и I + . . . сходится, если: ия + 1 < 1 при любом л U 2 ) H m U = 0. Сумма ряда 5 < U . 1 2 8 А r n 1 в остальных с л у ч а я х , когда I l m Л - O O Л-оо \U \ = 1, требуется д о п о л н и т е л ь н о е иссле­ дование д л я т о г о , чтобы судить о схо­ димости ряда. Признак К о ш и. Е с л и n Примеры: 1) а + л + а + а - | - . . . + а 4 в | в л 1 + ...; \а\>\ О, если I а | < I л-оо' I л I ^ o o [со. Iim Л —OO OO ]/|« |<1. л Следовательно, ряд сходится, и притом абсо­ лютно, для I а I < 1, расходится для | а | > 1. При а = ± 1 ряд расходится, так как | " | не стремится тогда к нулю. л ТО ряд 2 л=1 и „ , сходится; если 2) 00 2 J ~ ~ Ь " t где ft—любое число больше нуля л=1 * (при А < О ряд, очевидно, расходящийся). Здесь п l l m л—OO \/КТ> если л 1 / ( / I ) e _ L ; Л * f(x) Х L . Н то ряд расходится; Л-OO л Н По признаку Ермакова 1 оо, если А < ] »Ax ]/ I п I > и 1 П Р И любом П всех х-оо ш О, А>1. то ряд расходится. с л у ч а я х , когда Во прочих По интегральному признаку r l - ft I ° ° (ft OO Л—OO д л я суждения о сходимости ряда тре­ буется д о п о л н и т е л ь н о е исследование. Интегральный признак. П у с т ь f (х) — положительная, непрерывная и убы­ вающая функция д л я всех х, б о л ь ш и х некоторого значения х = а, и \ и \ = / ( п ) . п 1 ( 1 — ft 1) In X I " ( A - 1 ) . Отсюда ясно, что оо, если ft1. ест Ряд 2 л=1 In I u сходится, если j f (х) а dx сходится, и расходится, если интеграл расходится (см. стр. 175). Признак В . П. Ермакова * . Пусть f{x) — п о л о ж и т е л ь н а я , непрерывная и * В. П. Е р м а к о в — профессор Киевского университета и член-корреспондент Академии наук. Свой признак он опубликовал в .Матема­ тическом сборнике" в 1870 г. Следовательно, ряд будет сходящийся, А > 1, и расходящимся, если А < 1. 0 0 1 3 ) 2 л—1 ( - D " " " H-I-VrP/.-'/* 1 + ... Так как I > >/• > • / , > . . . > — > . . . и I l m в _ — л-оо л я •» Hm — » 0 , то Л —OO я ряд сходится, но сходится