* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И ИССЛЕДОВАНИЕ ИХ СХОДИМОСТИ 149 Пример. Найти такие точки ла окружности X + у* = 2а , произведения координат которых достигают максимума или минимума. 1 1 OO Если ряд 2 л=1 I п I • составленный и из B этом случае z = xy, 1 Z = 7 XyH-X(X -Hy ) 1 1 1 абсолютных OO значений членов данного и система уравнений — = у -f- 2Хх = 0, —^y = 1 — X H- 2Ху = 0, < = X -j- У = 2а* имеет решения: р 1) -г = а; у = a; X = 2) X = ряда 2 л=1 и п* сходится, то и данный ряд —; — ; а; у = — а; X = 3) X = — а; у=*а\ 4) X = X— — ; -а; у = - а ; X= L. B первой и четвертой точках функция дости­ гает условного максимума, так как = 2Xdx* + 2 d x d y + 2Xdy*. а из соотношения ? = х " у* = 2 a получаем dtp = 2х dx H- 2у dy = 0 , откуда в данных случаях имеем dx = — dy; поэтому (d*F) Adx < 0 . s х t х = - т Во второй и третьей точках ((PF) j = e = > 4 d x * > 0 (так как соотношение dy = 2xdx-\H- 2у dy = 0 дает d x = dy), следовательно, функ­ ция достигает условного минимума. сходится и называется абсолютно схо­ дящимся рядом. А б с о л ю т н о сходящиеся ряды можно почленно перемножать как конечные суммы (распределительный з а к о н ) ; члены их можно п р о и з в о л ь н о переставлять (переместительный з а к о н ) и г р у п п и р о ­ вать (сочетательный з а к о н ) , не нарушая этим сходимости ряда и не изменяя его суммы. В частности, всеми этими свой­ ствами обладают сходящиеся ряды с п о л о ж и т е л ь н ы м и членами. Е с л и некоторый знакопеременный ряд сходится, но ряд, составленный из абсо­ л ю т н ы х значений членов данного ряда, расходится, то данный ряд называется условно сходящимся. Изменение порядка его членов может привести к измене­ нию суммы ряда и даже к превращению его в расходящийся ряд. Существуют достаточные признаки, по которым можно о б н а р у ж и т ь схо­ димость или расходимость данного ряда. Теоремы сравнения. Сравниваются OO OO п ЧИСЛОВЫЕ Р Я Д Ы И ИССЛЕДОВАНИЕ ИХ СХОДИМОСТИ OO два ряда: ^\и \ Л=1 а У ] \v \. n 1) Е с л и Л=1 Выражение 2 Л=1 и п = «i + «2 + ••• + + u„ + . . составленное и з членов ч и ­ словой последовательности, называется сходящимся числовым рядом, если су­ ществует п S n предел "А " "1 + л - й частичной "2 + + "ч суммы При д л я всех л > N (N — некоторое постоян* ное) выполняется неравенство | ы | - < < I cv I, где с — л ю б о е число, не за­ висящее от л , то из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда. 2 ) Е с л и я n существует л конечный т о 0 lim I Ц / | I I К фО «= 2 Л-ооI V n безграничном увеличении числа л ее членов. В противном с л у ч а е ряд назы­ вается расходящимся. Предел частичной суммы 5 = суммой ряда. H m " V Uf A= л t называется (причем | и | = £ 0 ) , б а ряда одно­ временно сходятся или одновременно расходятся. Р я д ы д л я сравнения: OO I 2 п=\ а Я п — сходится, е с л и |q | < 1, я Необходимый и достаточный признак сходимости К о ш и . Р я д сходится в том и только в том с л у ч а е , если при л ю б о м наперед заданном е > О можно найти такое число л , что при произвольном целом т будет иметь место неравенство K + I + » -+ I О - Если I l m IwJ M), 7 расходится, е с л и Ifl | > 1 ; 2 л=1 — J — сходится, если к > п I t и рас- х о д и т с я , если При k = 1 получается ряд: 1 1 гармонический то ряд расходится. 1 + It + Vs + Z* + • - . ( р а с х о д и т с я ) .