* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДИНАМИКА ВАГОНА 653 Следовательно, решением диференциаль«ого уравнения (2) в нашем случае я в л я е т с я = (Zi — fcm) cos А/ + / ,СТП' (5) при It = кг. (к = 1, 2 , 3 . . . ) , или при f = Ля_ я 2я Зл: Г 3 *""Х X • " " " ~2 "2 "* ' в ; ; = ; Г ; Г ; = А А ~ На фиг. 2, в показан график изменения г в зависимости от f. Полученное колебательное движение называется г а р м о н и ч е с к и м , а соответствующие ему у р а в н е н и я (3) и (5) — уравнениями гармонических коле­ баний. К а к следует из фиг. 2, в, груз колеблется о к о л о своего положения равновесия z = f •с наибольшим отклонением г — f назы­ ваемым а м п л и т у д о й к о л е б а н и й , пе­ риодически повторяя занимаемые им на оси п о л о ж е н и я через одинаковые промежутки времени. Время Т одного полного колебания ( о т п о л о ж е н и я 1 до п о л о ж е н и я ~f cm сек. где g — ускорение 981 см/сек . 2 силы тяжести, равное Н а и б о л ь ш е е значение кинетической энер­ гии получается при sinXr = ± 1 ZQ Ж Количество полных колебаний в 1 сек. на­ зывается ч а с т о т о й к о л е б а н и й и равно обратной величине периода Х_ 2л ^max ~~ z i (12) .Ll/JL L_ П о т е н ц и а л ь н а я энергия деформации пру­ ж и н ы в момент времени / с о с т а в л я е т Я = г - о = [2 cosXr]a — 2 0 (7) (13) Из в ы р а ж е н и я (7) следует, что X в 2т, раз больше частоты колебаний и в ы р а ж а е т к р у ­ г о в у ю ч а с т о т у (в р а д / с е к . ) . Скорость перемещения груза при колеба­ ниях, р а в н а я первой производной от z по t, составляет z' = — П о л н а я энергия системы в момент времени t равна К + 11 = 2 g - 2 + о Ж , ZJ y C O S * X f л s i n n * о + Ж l (2! — f ) cm Sin It. (в) =25у. (14) Из в ы р а ж е н и я (8) следует, что наиболь­ шую скорость груз имеет при sinXf = ± 1, что происходит при U=(2fc — 1)я s-^-(*=l e 2, 3...) 1 _ (2А — ~ 2Х Зтг 2Х 5тс : = я 2Х = : 2к' ' ' - 4 ; 4 4 Г ' * •» т. е. в моменты, когда г р у з проходит среднее положение (положение равновесия) — при /cmУ с к о р е н и е груза при колебаниях, равное второй производной от z но t, составляет 2 = z* = - X * (Zx-Zcm) cosXf. (9) И з в ы р а ж е н и я (9) следует, что наибольшее ускорение появляется при cos It = ± 1 , т. е. И з у р а в н е н и я (14) в соответствии с зако­ ном сохранения энергии, в п е р в ы е открытым выдающимся учёным М. В. Ломоносовым, следует, что п о л н а я энергия системы является величиной постоянной, равной работе, з а т р а ­ ченной на первоначальное с ж а т и е пружины при выводе груза из состояния покоя. Эта энергия в ы р а ж а е т с я графически площадью за­ штрихованного т р е у г о л ь н и к а F (фиг. 2,6) диаграммы деформации п р у ж и н ы . Кинетиче­ с к а я и потенциальная э н е р г и я системы, вза­ имно дополняя друг друга до некоторой по­ стоянной величины, переходят одна в другую, причем когда одна из них достигает макси­ мума, другая обращается в н у л ь . Т а к , в мо­ мент перехода груза через среднее положение кинетическая энергия достигает максимума [ в ы р а ж е н и е (12)], а п о т е н ц и а л ь н а я обращает­ ся в нуль; в момент наибольшего отклонения груза их соотношение получается обратным. З н а я соотношения К и Я , можно графически построить т р а е к т о р и ю колеблющегося г р у з а . В самом общем случае, когда в начальный момент грузу задаётся не т о л ь к о отклонение Z i , но и некоторая начальная скорость z т. е. v