* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 551 0 1 п 3.8. Лемма Шпернера. Если n-мерный симплекс А = [а а . . . а ) покрыт замкнутыми множествами F , F, F так, что каждая его грань {a ^ a . . . a ), k = О, 1, . . . , n, оказывается це­ ликом покрытой множествами F , F , . .., F , то существует точка х из А, покрытая всеми множествами, т. е. кратность покрытия равна л + 1. Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим произвольно мелкое симплициальное разбиение К нашего симплекса. Пусть b — любая из вершин комплекса К и пусть A = {a ^ a a ^ ) — грань симплекса А наименьшего числа измерений k, содержащая точку Ь. Тогда точка b принадлежит хотя бы одному из множеств F , F , F ; пусть это будет множество F . Поставим этой вершине b в соответствие вершину a симплекса А, имеющую тот же индекс /, что и множе­ ство F^ Таким образом, каждой вершине b комплекса К поставлена в соответствие некоторая вершина симплекса А, являющаяся одной из вершин той грани симплекса А, которая содержит b как внутрен нюю точку. Оказывается, что в этом случае в комплексе К непре менно найдется такой л-мерный симплекс, всем вершинам которой соответствуют р а з н ы е вершины комплекса А. Именно в доказа тельстве этого утверждения кроется главная трудность; его можж считать комбинаторной формой леммы Шпернера. Если это утвержде ние предположить доказанным, то завершить доказательство легко В самом деле, в сколь угодно мелкой триангуляции К найдете] симплекс, вершины которого соответствуют различным вершина! симплекса А, и, значит, по построению, он принадлежит различныг множествам F . Таким образом, существует сколь угодно маленьки! симплекс, вершины которого принадлежат всем различным мно жествам F . Предельная точка х для этих вершин при все уменьшаю щихся размерах этого симплекса должна принадлежать в с е г множествам F так как все эти множества замкнуты, т. е. содержа' каждую свою предельную точку. Итак, найдена точка х, принад лежащая всем множествам F что и требовалось. Q x f n s Si Sf{ So Si s k s Si s fo s Sk { i ( { it h Остается доказать главное утверждение. К о м б и н а т о р н а я л е м м а . Если каждой вершине Ь° симплициального разбиения К некоторого n-мерного симплекса А = = oi п поставлена в соответствие некоторая вершина той грани симплекса А, которая содержит Ь° как внутреннюю точку, то в К найдется хотя бы один такой n-мерный симплекс, на­ зовем его главным, всем вершинам которого соответствуют раз­ ные вершины симплекса Л. Д о к а з а т е л ь с т в о . Здесь будет доказано более сильное утверждение, а именно, что таких (главных) симплексов в К. будет непременно нечетное число (значит, отличное от нуля). Так как для п — 0 это утверждение очевидно, проведем доказательство fl fl а