* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

550 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ дуального разбиения принадлежит точно л + 1 клетке покрытия, остальные точки покрыты меньшим числом клеток. Рекомендуем читателю представить себе наглядно при л = 3 дуальное разбиение к какому-нибудь разбиению пространства на тетраэдры. Говорят, что некоторое множество покрыто систекгаи множеств F если каждая его точка покрыта одним или несколькими множествами системы F. Для разных точек число h покрывающих ее множеств может быть различным; максимальное из этих чисел называется кратностью покрытия. Если пользоваться этим термином, то установленное только что свойство л-мерного пространства можно выразить так: любая ограниченная часть л-мерного пространства при любом е > 0 допускает замкнутое е-покрытие кратности л + 1. Возникает вопрос, нельзя ли найти при любом е > 0 такое е-покрытие симплекса (или куба), кратность которого была бы меньше л + 1 ? Например, нельзя ли обыкновенный тетраэдр покрыть мелкими замкнутыми множествами так, чтобы ни одна его точка не была покрыта более чем тремя множествами? Оказывается, этого сделать нельзя. Например, если е меньше радиуса вписанного в л-мерный симплекс шара, то замкнутого е-покрытия этого симплекса кратности л не существует. Эта теорема (о том, что минимальная кратность е-покрытия при достаточно малом е равна /1+1) является весьма глубокой и трудной; ее доказательству посвящены два ближайших параграфа. Нетрудно видеть, что свойство компактного множества иметь при любом е > 0 е-покрытие данной кратности есть его топологиче­ ское свойство. Действительно, известно, что функция, непрерывная на компактном множестве, равномерно непрерывна на нем, т. е. го­ меоморфизм всякого такого множества является непременно эквиморфизмом; значит, при гомеоморфизме этого множества его е-покры­ тие переходит в некоторое б-покрытие, где 6 тоже сколь угодно мало. Из этого замечания и из упомянутой теоремы о минимальной кратности покрытия л-мерного симплекса непосредственно вытекает инвариантность числа измерений. Вместе с тем эти соображения позволяют просто определить размерность для любого компактного множества: размерностью компактного множества назовем минимальное из таких целых чисел л , что при любом е > 0 существует е-покрытие этого множества крат­ ности л + 1 . Токологическая инвариантность этого определения следует из только что приведенных рассуждений. Из доказывавшей в п. 3.9 теоремы о минимальной кратности покрытия л-мерногб симплекса вытекает, что размерность последнего равна л. Это и дает в наиболее четкой форме доказательство ин­ вариантности числа измерений. y