* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 549 веденном ниже доказательстве такими средствами служат л е м м а Шпернера и закон минимальной кратности покры­ т и я ) . Эта теорема тесно связана с общей проблемой определения размерности:— нельзя ли произвольному сколь угодно сложному множеству точек (или произвольному топологическому простран­ ству) приписать некоторое целое число, которое естественно было бы назвать его числом измерений (размерностью). Эта проблема была блестяще разрешена выдающимся советским математиком П. С. У р ы с о н о м, которым было дано определение числа измере­ ний для любого топологического пространства. Рис. 36. Рис. 37. Здесь мы ограничимся определением размерности для случая любого компактного множества в метрическом пространстве. Будем отправляться от следующего важного свойства л-мерного куба (или л-мерного симплекса), которое, как мы увидим, имеет топологический характер: л-мерный куб (а также л-мерный симплекс) при любом е Х ) может быть покрыт конечным числом замкну­ тых множеств диаметра < е (замкнутое е-покрытие) так, что никакая его точка не будет принадлежать более чем л + 1 из этих множеств. Для л = 1 это очевидно: прямолинейный отрезок можно k— 1 точками разбить на k равных отрезков, образующих покрытие данного отрезка; при этом каждая из делящих точек покрыта точно двумя отрезками, всякая иная точка—только одним отрезком; так как k произвольно, то отрезки сколько угодно малы. Для л = 2 такое покрытие дает обыкновенный паркет (рис. 36) или ' система правильных шестиугольников (рис. 37), заполняю­ щих плоскость: каждая точка принадлежит не более чем трем шестиугольникам (именно, в вершинах сходятся по три шести­ угольника). При произвольном л такое покрытие образует система л-мерных клеток дуального разбиения к любому симплициальному разбиению л-мерного пространства. Именно, каждая вершина