* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 547 противоречие доказывает, что из инфинитезимального определения равномерной непрерывности вытекает метрическое. Докажем только что упомянутую лемму: Л е м м а . Если в метрическом пространстве последователь­ ность пар точек а , Ь такова, что р (а д ) > е, где Е —некото­ рое постоянное положительное число, то из нее можно выделить такую подпоследовательность а , Ь что множество всех а не близко к множеству всех Ь : п п П1 п Пк ПкУ Пк Пк При доказательстве можно предположить прежде всего, что от каждой точки а лишь конечное число точек последовательности п {Ь ) находится на расстоянии, меньшем чем п так как если бы нашлась бесконечная подпоследовательность все точки которой отстоят от одной точки а п менее чем на - | - , то вся эта подпоследовательность находилась бы от множества то­ чек последовательности в на расстоянии, не меньшем чем у , что легко заключить на осно­ вании неравенства треугольника. Точно так же будем предполагать, что от любой точки Ь лишь конечное число элементов послет е довательности а отстоит меньше чем на Заметив это, начнем построение искомой подпоследователь­ ности. За а , Ь примем пару точек a b . Затем из последователь­ ности а ,Ь ,