* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

546 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ А к с и о м а 1. Множество А[}В тогда и только тогда не бес­ конечно близко к С, если А не близко к С и В не близко к С. Иначе говоря, утверждение Л и В б С равносильно двум соотноше­ ниям ЛгЗС, В 6 С. А к с и о м а 2. Точки а и Ъ бесконечно близки тогда и только тогда, когда а совпадает с Ь. Иначе говоря, abb равносильно а — Ь. А к с и о м а 3 ( а к с и о м а о т д е л и м о с т и ) . Если множества Л и В не близки, то у них существуют непересекающиеся окрест­ ности: если Л 6 В, то существуют такие их окрестности U и U что ^ д Л ^ д = 0. (Здесь под окрестностью U множества Л будем понимать всякое множество U для которого R\U& b Л.) Из только что сформулированных аксиом вытекают основные аксиомы топологического пространства. 3.6. Равномерно непрерывное отображение. Теперь легко сфор­ мулировать в терминах инфинитеэимальной геометрии определение равномерной непрерывности отображения. Пусть Л и В—множества в инфинитезимальных пространствах. Отображение / множества Л в В называется равномерно непре­ рывным, если всякие два бесконечно близких множества из Л пере­ ходят под влиянием / в бесконечно близкие. В случае метрических пространств это определение равносиль­ но обычному: отображение f равномерно непрерывно, если для всякого положительного е существует такое т ] > 0 (не завися­ щее от х или дг ), что из неравенства р(х , * )< 1 следует P(/(*i), / ( * « ) ) < е . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть отображение/удовлетворяет пос­ леднему (метрическому) определению и пусть А и Л —бесконечно близкие подмножества множества Л. Тогда при произвольно малом е найдутся в f(A ) и в / ( Л ) точки, отстоящие друг от друга меньше, чем на в. Действительно, для этого нужно только взять в А и в Л точки х и х для которых р (х х ) < rj; тогда P ( / W , / W ) < e . следовательно, p t / ^ ) , / ( Л ) ) = 0, т. е . / ( Л ) и f(A^) бесконечно близки. Пусть, наоборот, отображение / удо­ влетворяет инфинитезимальному определению равномерной непре­ рывности, и допустим, что тем не менее существует такое е > 0 , что при любом т] найдутся точки х и y , для которых р (jt , д ) < TJ и р ( / ( * ) , f(y ))>£Теперь можно показать (это непосредствен­ но вытекает из доказанной ниже леммы), что из множества всех пар л^, у^ можно выбрать такую часть, что множество образов f(x ) для всех выбранных пар не будет бесконечно близко к множеству образов f(y^) для тех же пар; таким образом, множество всех х^ из выбранных пар бесконечно близко к множеству соответству ющих у^ а образы этих множеств не бесконечно близки. Полученное A B% A A% т х 2 г 2 х 2 x 2 х 8 х 2% х% 2 H 2 х % Ti Tj ч Ti 7