* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 537 метрической геометрии. Однако понятие топологического прост­ ранства так естественно возникает из понятия метрического, что удобно начать именно с него. Множество произвольных элементов, между каждыми двумя элементами которого установлено расстояние, является предметом изучения метрической геометрии. В этом смысле такое множество называется метрическим пространством, а его элементы — точками. Итак: Метрическим пространством называется совокупность точек, в которой для каждых двух точек х и у определено положитель­ ное расстояние р (лг, у) = р (у, х)>0. Расстояние от точки х до нее самой считается равным нулю: р(лг, х) — 0. Обычно рассматривают лишь такие метрические пространства, в которых расстояние удовлетворяет так называемой аксиоме тре­ угольника: , , P(x,y) + p{y z)^p(x,z). В дальнейшем будем всегда предполагать, что эта аксиома имеет место. Множество всех действительных (или комплексных) чисел обра­ зует метрическое пространство, если за расстояние между числа­ ми х и у принять абсолютную величину их разности: ч t \*—у\Множество всех точек плоскости и все наше пространство являются метрическими пространствами, так как в них определено понятие расстояния. Они представляют собой частные случаи евклидова пространства п измерений, при й = 2 и 3. Евклидовым n-мерным пространством называется совокупность всех систем (х х ,... ,лг„) действительных чисел; каждая такая сис­ тема называется его точкой, а расстоянием между двумя точка­ ми х= (х , х ,..., х ) и У = (у у ,чУп) называется число Р(*,.У)= и 2 г 2 п г1 2 Р У) =» +V(*i— У1) + (*2-У2) + •-• +(**-y«)*i числа х ,х ,...,х называются координатами точки х. Всякая часть (любое множество точек) метрического прост­ ранства R, рассматриваемая вне отношения к остальным точкам пространства, образует метрическое пространство, так как для любых двух ее точек уже определено расстояние, как расстояние между всякими двумя точками из R. В частности, всякая фигура в евклидовом пространстве может быть рассматриваема как метри­ ческое пространство. Вот еще несколько примеров метрических пространств. 1) Пусть дана произвольная поверхность; назовем расстоянием между двумя ее точками а и b длину кратчайшей из дуг, соеди­ няющих эти две точки и лежащих всеми своими точками на 2 2 х 2 п