* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОГООБРАЗИЯ 533 называются гомологичными нулю. Если разность двух циклив Z и Z гомологична нулю (Z — Z ~ 0), то сами циклы называют­ ся гомологичными (Z ~Z ). Если в группу всех r-мерных циклов ввести добавочное условие, считая все гомологичные нулю циклы нулями, то эта группа превращается в новую группу (фактор-группу), называемую г-мерной группой гомологий Бетти (или г-мерной группой) рассматри­ ваемого комплекса. Максимальное число линейно независимых эле­ ментов в ней называется r-мерным числом Бетти комплекса и обозначается через р . Оказывается, что группы Бетти, а следовательно, и числа Бет­ ти являются топологическими инвариантами тела комплекса (дока­ зательство см. в книгах [6, 7, 6, 9], указанных в списке литературы в конце .статьи). Это значит, что если комплексы К и / ( имеют гомеоморфные тела \К\\ и \К \* ° /"-мерные группы Бетти изоморфны, а г-мерные числа Бетти равны. Таким образом, если, например, хотя бы одно число Бетти у двух многообразий оказы­ вается не совпадающим, то такие многообразия наверное не гомео­ морфны. Заметим, однако, что если у двух многообразий все соот­ ветствующие числа Бетти совпадают и если даже все соот­ ветствующие группы Бетти изоморфны, то это еще не значит, что многообразия гомеоморфны: в таких случаях для их топологичес­ кого различения приходится искать более тонкие инварианты. Для связного комплекса справедливо соотношение р = 1. Дей­ ствительно, уславливаясь любую нульмерную цепь считать целиком (граница 0-цепи равна 0), мы легко докажем, что каждая вершина, рассматриваемая как 0-цепь, гомологична любой другой вершине. В самом деле, мы уже видели, что в связном комплексе любые две вершины могут быть связаны простой цепочкой ребер. Рас­ сматривая эту цепочку как 1-цепь, находим, что граница послед­ ней содержит лишь две заданные вершины и притом с противо­ положными знаками; таким образом, линейная форма, представляю­ щая собой разность двух данных вершин, гомологична нулю. Если одну из вершин фиксировать и обозначить в качестве 0-цикла через Z , то любая другая вершина связного комплекса оказывает­ ся гомологичной этой фиксированной. Поэтому любой 0-цнкл в связном комплексе гомологичен циклу hZ° где К — целое число. Таким образом, нульмерная группа гомологий имеет лишь одну обра­ зующую и потому р = 1 . Точно так же убеждаемся, что если ком­ плекс имеет р компонент, то всякий 0-цикл гомологичен линейной форме из р фиксированных вершин, взятых по одной в каждой компоненте; никакая линейная комбинация этих р вершин не гомо­ логична нулю. Другими словами, р = р . Итак, нульмерное число Бетти р имеет простой наглядный смысл: оно равно числу компо­ нент комплекса. Y t x 2 L 2 г х 2 т и х 2 0 0 y 0 0 0