* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОГООБРАЗИЯ 529 относительно одной из горизонтальных осей, проведенных через центры противоположных граней среднего куба, например, так: A'B'C'D' = DCBA. Легко видеть, что если ориентировать нижний и средний кубы, а также верхний и средний одинаково, то нижний и верхний окажут­ ся ориентированными неодинаково, так как на общей их грани А ' В ' С П = DCBA возникнет одна и та же ориентация от верхнего и от ^ нижнего кубов. Полной границей нашего многообразия N служит поверхность Клейна, в чем нетрудно убедиться, проследив, как произведено склеи­ вание нижнего и верхнего краев боковой по­ верхности параллелепипеда. Точно так же при склеивании обратится в поверхность Клейна всякая цилиндрическая поверхность, описанная вокруг вертикальной оси параллелепипеда ABCD А ' В ' С D ' . Инте­ ресно, что эта неориентируемая поверхность в нашем многообразии располагается двусторонне. Заметим, что в неориентируемых многообра­ зиях ориентируемые поверхности могут тоже располагаться и односторонне и двусторонне. Продвигая вверх вдоль вертикальной оси нашего параллелепипеда правый (обыкновенный) буравчик, посмотрим, что станет с ним при переходе через грань ABCD = D ' C ' B ' A \ Так как направление « в в е р х » при переходе через эту грань не изменяется, а направ­ ление вращения по часовой стрелке превращается в противополож­ ное, то п р а в ы й буравчик превращается в л е в ы й . Рассматриваемое многообразие N , являющееся трехмерным аналогом поверхности Мёбиуса, можно считать самым простым из всех неориентируемых трехмерных многообразий (в том смысле, что в каждом таком многообразии содержится часть, гомеоморфная многообразию /V ). С другой стороны, очевидно, что всякое трехмерное многообра­ зие, содержащее часть, гомеоморфную многообразию TV , необходи­ мо будет неориентируемым. З а д а ч а . Разбив проективное пространство Р четырьмя пло­ скостями на восемь тетраэдров (см. п. 2.6, пример 2) и надлежащим образом ориентировав их, убедиться, что в противоположность проективной плоскости многообразие Р ориентируемо ). 3 3 3 3 3 3 1 ) Вообще проективное пространство Р ном и неориентируемо при п четном. г п ориентируемо при п нечет­