* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

528 L \ Понятно, что ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Х(^ ) = х ( ^ ) + Х ( / ^ ) - Х ( А ^ ) = = 2 х Ю - х ( ^ ) в с е 3 2 > ибо в сумме x ( f ) + клетки края подсчитаны дважды, поэтому пришлось из нее вычесть %(№). Но, как было доказано в предыдущем параграфе, эйлерова характеристика замкнутого многообразия L равна 0. Итак, 3 2х (к*)-%т=о. Отсюда, между прочим, следует, что никакая замкнутая по­ верхность с нечетной эйлеровой характеристикой (например, эллип­ тическая плоскость) не может одна являться краем трехмерного многообразия. Можно показать, что, наоборот, для каждой замк­ нутой поверхности с четной эйлеровой характеристикой можно найти трехмерное многообразие, для которого она служит полным краем. 2.10. Ориентируемые и иеориентируемые многообразия. Будем говорить, что 3-клетка я = ф (А ) ориентирована, если выбрана определенная ориентация на ее поверхности, т. е. если ориенти­ рованы все ее грани и притом одинаково (см. стр. 500). Для осу­ ществления такой ориентировки граней перейдем к шару А , слу­ жащему прообразом для а , и, рассматривая грани из его центра, снабдим каждую из них направлением вращения, например, по часовой стрелке. Всякий трехмерный элемент, лежащий внутри данной ориентированной 3-клетки, считается ориентированным с ней одинаково, если, рассматривая их поверхности из внутренней точки внутреннего элемента, мы видим вращения, задающие ори­ ентации граней, одинаково направленными. Пусть NP — трехмерное многообразие, а К — какое-нибудь его клеточное разбиение. Многообразие М называется ориентируе­ мым, если можно так ориентировать все 3-клетки комплекса /С , что каждые две соседние будут ориентированы одинаково, т. е. будут сообщать их общей грани противоположные ориента ции. Мы не будем приводить доказательства того факта, что свойство ориентируемости или неориентируемости не зависит от выбора разбиения К , т. е. что если многообразие Ж оказалось ориен­ тируемым (или неориентируемым) при некотором его разбиении /С , то оно окажется таким же и при всяком другом его клеточном разбиении. Приведем пример неориентируемого многообразия (с краем). Пусть ABCDA'B'C'D' — прямоугольный параллелепипед, который мы будем представлять себе сложенным из трех одинаковых кубов, поставленных друг на друга (рис. 30). Интересующее нас много­ образие N получится путем отождествления нижней грани ABCD с верхней гранью A'B'C'D' таким образом, чтобы оказались отож­ дествленными (склеенными) точки этих оснований, симметричные 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3