* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОГООБРАЗИЯ 527 Заметим, что если точка имеет окрестность первого из только что указанных типов, то она не может иметь окрестности второго типа, и наоборот (совсем непростое доказательство этого факта мы опускаем). Из этого замечания следует, что все точки многооб­ разия с краем распределяются на два класса соответственно ти­ пам их окрестностей. Точки первого класса назовем внутренними точками многообразия Ж , точки второго класса —краевыми точ­ ками; совокупность последних назовем краем многообразия /И . Можно показать, что внутренние точки образуют открытое много­ образие; край состоит из конечного числа замкнутых поверхностей. Заметим, что само многообразие с краем не является многообра­ зием в смысле определения п. 2.5. Все клетки клеточного разбиения многообразия с краем также разделяются на два класса: внутренние клетки — клетки, состоя­ щие из внутренних точек, и краевые клетки — составленные из краевых точек. В случае трехмерного многообразия с краем можно доказать, что каждая внутренняя вершина имеет в барицентричес­ ком разбиении сферическую звезду (см. п. 2.5), каждая краевая вершина—«полусферическую» барицентрическую звезду, т . е . звез­ ду, изоморфную радиальному разбиению полушара (разбиению, которое получится, если некоторую триангуляцию соответствую­ щей полусферы проектировать радиусами из центра шара). Каждое внутреннее ребро имеет циклическую звезду (п. 1.6), каждое краевое ребро—«полуциклическую» звезду (барицентри­ ческая звезда краевого ребра составлена из симплексов подобно половине апельсина, составленной из долек). Наконец, каждая внутренняя 2-клетка подчинена двум 3-клеткам, каждая краевая 2-клетка подчинена только одной 3-клетке. 2.9. Эйлерова характеристика многообразия с краем. Поверх­ ности» не могущие быть краем. Пусть Ж —многообразнее краем, а Ф — е г о край, который, как мы видели, состоит из нескольких замкнутых поверхностей. Пусть, далее, К?—клеточное разбиение многообразия Ж , а К — соответствующее разбиение края Ф. Мы покажем, что имеет место соотношение 3 3 3 3 2 Действительно, взяв два экземпляра комплекса К , отождествим (склеим) соответствующие точки их краев. Как нетрудно видеть, при этом образуется новый комплекс £ , являющийся клеточным разбиением некоторого замкнутого многообразия, ибо при таком отождествлении звезды внутренних вершин не изменятся, а звезды вершин края, которые до отождествления были полусферическими, станут сферическими; итак, после отождествления звезды всех вершин станут сферическими, т. е. у нас получилось замкнутое многообразие. Подсчитаем эйлерову характеристику многообразия 3 3