* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
509
будем проводить их последовательно. Простые рассуждения пока зывают, что после проведения каждого из разрезов поверхность остается связной; следовательно, можно провести следующий раз рез, не пересекая предыдущих (возможно, что при этом придется перейти к более мелкой триангуляции, для чего можно восполь зоваться барицентрическим разбиением). После проведения всех разрезов у Ya» • • Уг поверхность F превратится в поверхность F с одним краем; каждый из замкнутых полигонов c превратится в незамкнутый простой полигон с*, а каждый разрез у, превратит ся в два куска: Y* *Y/- Так ^ i — простая поверхность, то поверхность F* также простая. Следовательно, по предыдущей теореме, поверхность* F? гомеоморфна кругу; ее граница состоит из Зг звеньев:
и x x i И к а к
Yi» i t
c
*
* *
Уи
Y'i r t
c
г
* -* *
Yr.
которые образуют простой полигон Г (рис. 18). То же и в том же порядке можно проделать и над поверх ностью F . Пусть при этом возникает поверхность F* с краем Г . Тогда поверхности F\ и F% могут быть отображены друг на друга так, чтобы соответственные вершины поли гонов 1 \ и Г отвечали друг другу, соот ветственные звенья были отображены про порционально длине. Такое отображение строим, распространяя указанное отобра жение краев на самые поверхности F* и F% (см. лемму на стр. 506). Легко видеть, что при этом получается топологическое со ответствие и первоначальных поверхностей F и F . Теорема доказана. Мы приходим, таким образом, к тополо гической классификации простых поверхнос Рис. 18. тей. Две простые поверхности гомеоморфны в том и только в том случае, если их края состоят из одного и того же числа кусков. Иными словами, число г компонент края полностью характеризует топологический тип простой поверхности. В качест ве постоянного представителя этого типа мы выберем сферу с г круглыми «дырами» (т. е. сферу, от которой отсечено г сферичес ких сегментов). Каждая простая поверхность с точки зрения то пологии может быть реализована в такой форме; это — «нормальная форма» простой поверхности. В заключение подсчитаем эйлерову характеристику и порядок связности для простых поверхностей. Инвариантность эйлеровой характеристики позволяет произвести этот подсчет очень просто.
2 2 2 x 2
