* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

508 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ отобразить поверхность F* на половину какого-нибудь круга, и так как при этом на основании леммы можно наперед задать отображение края поверхности F* на край полукруга, то мы вправе предполагать, что при этом отображении дуга ab переходит в диаметр. Теперь отобразим топологически треугольник Д на дру­ гую половину круга и притом так, чтобы точки, лежащие на дуге ab, перешли в соответствующие точки диаметра (что возможно сделать на основании леммы). Установленное отображение поверх­ ностей F* и Д и даст топологическое отображение всей поверх­ ности F на круг. В третьем случае, отбрасывая треугольник Д, мы получаем из F две простые поверхности F и F . Край каждой из них состоит из одного куска, причем эти края имеют общую точку а . Каждая из поверхностей F и F гомеоморфна кругу (для каждой из них с с < л + 1). Отображая, подобно предыдущему, поверхности F и Д на две половины одного круга, убеждаемся, что поверхность, составленная из F и Д, гомеоморфна кругу. Затем аналогич­ ным образом, присоединяя к ним F , находим, что вся поверх­ ность F—(F -\-&)-\-F может быть топологически отображена на круг, причем край переходит в окружность. Наше предложение доказано. Т е о р е м а II. Вся/сан замкнутая простая поверхность F гомеоморфна сфере. Действительно, удалив из некоторой триангуляции нашей по­ верхности один треугольник Д, мы получим новую простую поверх­ ность F*, край которой состоит из одного куска (границы тре­ угольника Д). По доказанному, эта поверхность гомеоморфна кругу. Ее можно топологически отобразить на южную половину сферы. Тогда, отобразив (см. лемму) треугольник Д на северную полу­ сферу так, чтобы точки границы попали в соответствующие точки экватора, получим топологическое отображение поверхности F на всю сферу. Т е о р е м а III. Две простые поверхности F и F с краем, состоящим из одного и того же числа г компонент, гомеоморф" ны между собой. Нормальной формой для такой поверхности будем считать сферу, от которой отсечено г сферических сегментов. Пусть край поверх­ ности F состоит из г простых замкнутых полигонов с с , ., с Если г — 1 , то теорема уже доказана. Пусть г > 1 . Для доказа­ тельства теоремы возьмем на каждом из полигонов с по вершине a и к ним от произвольной внутренней для F вершины а° про­ ведем г непересекающихся разрезов на поверхности F : x 2 0 t 2 2 t x 2 l 2 x 2 x и 2 г / t x x Уи Y . 2 Уг Чтобы убедиться, что такую систему разрезов можно провести,