* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ 507 замкнутого разреза, не разбивающего ее, то это свойство сохра­ нится и при всяком другом клеточном разбиении. Доказательство этого утверждения в общем случае довольно сложно и поэтому здесь не приводится. Впрочем, для дальнейшего достаточно было бы знать, что имеет место инвариантность понятия простоты при подразделениях клеточного разбиения, и даже достаточно пользо­ ваться лишь инвариантностью при барицентрических разбиениях. Доказательство инвариантности понятия простоты при барицентри­ ческих разбиениях читатель может выполнить самостоятельно как упражнение. Для упрощения дальнейших рассуждений будем предполагать, что все грани клеточного разбиения являются треугольниками, т. е. что клеточное разбиение есть триангуляция. Это не нару­ шает общности, так как от любого клеточного разбиения можно перейти, например, к его барицентрическому разбиению. Перейдем теперь к классификации простых поверхностей. Т е о р е м а 1. Всякая простая поверхность F, край которой состоит из одной компоненты, гомеоморфна кругу. Прн этом топологическое отображение на круг, которым мы воспользуемся для установления гомеоморфизма, переводит край поверхности в окружность круга. [Последнего можно было бы не прибавлять, так как при всяком топологическом отображении край переходит в край (инвариантность края), однако, воспользовавшись этим, столь очевидным на первый взгляд, фактом, мы должны были бы его строго доказать, что вовсе не просто.] Если триангуля­ ция F состоит лишь из одного треугольника (ос = 1), то, конечно, F можно топологически отобразить на круг и притом так, чтобы край перешел в окружность. Итак, предложение верно, если а — 1. Применим метод математической индукции: предположим, что пред­ ложение справедливо для а ^ л , и докажем его для cc = / z - f - l . Выберем для этого треугольник А, примыкающий одним ребром а к краю триангуляции F. Тогда возможны три случая: из элемен­ тов треугольника Д краю принадлежат: 1) только ребро а и, следовательно, обе его вершины, или 2) ребро а и ребро Ь и, следовательно, все три вершины, или 3) ребро а с его вершинами и противоположная ему вер­ шина а . В первых двух случаях, отбрасывая треугольник Д, мы полу­ чим снова простую поверхность F* с краем, состоящим из одной компоненты, причем в состав ее триангуляции входит только п треугольников. Следовательно, предполагая наше предложение вер­ ным для сс = л, мы можем топологически отобразить поверхность F* на круг, так что ее край перейдет в окружность круга. Отме­ тим ту часть края поверхности F*. которая примыкает к треуголь­ нику Д; пусть это будет дуга ab. Мы можем топологически 2 2 2 3 1 1 1 1 Л 0 2