* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ 501 У этой поверхности нельзя различить двух сторон: лицевой и изнаночной, как, например, у цилиндрической поверхности или у сферы. Здесь лицевая сторона непрерывно переходит в изнанку, их нельзя отделить (например, выкрасив одну сторону в красный, а другую в синий цвет). Такие поверхности называются односто­ ронними; правильнее было бы сказать: поверхности, односторонне расположенные в пространстве. Вот точное определение односто­ роннего расположения поверхности в пространстве. Возьмем в точке р поверхности нормаль, а на нормали — две точ­ ки $ и q\ симметрично расположенные относительно р. Когда точка р непрерывно движется по поверхности, то и нормаль непрерывно перемещается. Поверхность расположена односторонне в простран­ стве, если существует на поверхности такой замкнутый путь, что при обходе вдоль него нормаль q'pq так сказать, переверты­ вается, т. е. отрезок pq переходит в отрезок pq' и обратно (рис. 11). Если выполнить поверхность из толстой бумаги так, чтобы мож­ но было эту бумагу разделить на два слоя вдоль всей поверхности, то в случае двустороннего расположения мы получили бы две оди­ наковые поверхности (из материала, в два раза более тонкого); в случае одностороннего расположения при таком расщеплении по­ лучилась бы о д н а (уже двусторонняя) поверхность, но двойной площади. В этом опыте мы наглядно видим, что у поверхности, распо­ ложенной односторонне, нельзя отделить лицевую сторону от изнанки. Кроме односторонности, поверхность Мёбиуса обладает и дру­ гими неожиданными свойствами, впрочем, тесно связанными с ее односторонностью. Например, на вопрос: на сколько частей распа­ дается эта поверхность, если разрезать ее вдоль средней линии в о к р у г , — редко услышишь правильный ответ, и обычно лишь ножницы восстанавливают истину. Убедимся, что поверхность Мёбиуса неориентируема. Разобь­ ем прямоугольник, из которого мы склеили поверхность Мёбиуса, в направлении большой оси на три малых прямоугольника. Если мы выберем ориентацию первого из них, например, против часовой стрелки, то ориентацию второго, а вслед за ним и третьего при­ дется взять тоже против часовой стрелки, но тогда на короткой стороне, по"которой было проведено склеивание, мы получим от ориентации первого и от ориентации третьего малых прямоуголь­ ников оба раза одно и то же направление, что противоречит усло­ вию одинаковости ориентации соседних граней. Чтобы определение ориентируемости поверхности сделать кор­ ректным, следовало бы доказать, что поверхность, оказавшаяся ориентируемой (или неориентируемой) при одном клеточном разби­ ении, останется такой же при всяком другом клеточном разбиении. Однако это доказательство топологической инвариантности понятия ориентируемости ввиду его сложности придется опустить. y