* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
462
НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ
Прямые нулевой длины неевклидова пространства, проходящие через точку S, высекают из плоскости окружность со, причем в этом случае точки одной полости сферы мнимого радиуса изображаются точками, находящимися внутри этой окружности, а точки другой полости изображаются точками, находящимися вне нее. Если уравнение плоскости имеет вид z = 0, то окружность со на этой плоскости определяется уравнением х -{-у -~q . Нетрудно проверить, что диаметрально противо положные точки сферы изображаются парами точек, переводящихся друг в дру га симметрией относительно окружно_ сти— инверсией (на рис. 87 изображены "^у / / две такие пары точек: А, А и В, В ). со ^ЛЁШ> у У Точки плоскости Лобачевского можно ' /—/ изображать также только точками, на ходящимися в н у т р и окружности О). Так же как при обычной стереогра фической проекции, доказывается, что окружности сферы мнимого радиуса про ектируются в окружности или прямые Рис. 86. на плоскости. Так как любая большая окружность переходит в себя при сим метрии относительно центра сферы, то большие окружности сферы мнимого радиуса и, следовательно, прямые плоскости Лобачевского изображаются на евклидовой плоскости диаметрами окружности со или окружностями, пересекающими ок ружность о под прямым углом (на рис. 87 изображена проекция АВ прямой пло скости Лобачевского). Эта модель пло скости Лобачевского внутри круга бы ла предложена выдающимся француз ским математиком Анри П у а н к а р е ; поэтому рассматриваемую модель плос кости Лобачевского и аналогичную мо дель плоскости Римана называют м од е л я м и П у а н к а р е этих плоскостей. Рис. 87. Рассмотрим более подробно модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. В этой модели прямые плоскости Лобачевского изображаются диаметрами круга или дугами окружностей, пересекающих окружность круга под прямым углом. Очевидно, что пере секающиеся прямые изображаются диаметрами или дугами окруж ностей, пересекающимися внутри круга; далее параллельные прямые изображаются диаметром и дугой окружности или двумя дугами окружностей, касающимися в точке пересечения с окружностью со;
2 2 2 х х ч >
