* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

410 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ кавычек, указывающих на образы этой геометрии. При этом мы будем все время иметь в виду тесную связь рассматриваемой гео­ метрии со сферической, позволяющую выводить все теоремы не­ евклидовой геометрии Римана из известных фактов сферической геометрии. Мы не ставим перед собой задачи дать полный перечень аксиом геометрии Римана. Укажем только, что основная аксиома «через всякие две точки можно провести прямую и притом только одну» евклидовой геометрии сохраняет силу и в геометрии Римана; но наряду с ней здесь имеет место также и аксиома «всякие две пря­ мые пересекаются в точке и притом только в одной» (на сфере всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках, но после отождествления диаметрально противоположных точек эти две точки превращаются в одну). Из этой аксиомы вытекает, что на неевклидовой плоскости Римана выполняется V постулат Евклида: если на этой плоскости пере­ секаются в с я к и е две прямые, то в том числе пересекаются и прямые, удовлетворяющие условию V п о с т у л а т а ) . Однако на не­ евклидовой плоскости Римана не выполняются аксиомы порядка евклидовой плоскости, так как в случае неевклидовой плоскости Римана к а ж д у ю из трех точек прямой можно считать лежащей между двумя другими, подобно тому как это имеет место для трех точек евклидовой окружности. По этой причине на неевклидовой плоскости Римана н е п р о х о д и т приведенное нами в п. 1.2 доказательство теоремы Лежандра о том, что сумма углов треу­ гольника не превосходит 180°. Напротив, из того, что сумма углов сферического треугольника б о л ь ш е 180° (см. IV кн. ЭЭМ, стр. 538) вытекает, что сумма углов любого треугольника на неевклидо­ вой плоскости Римана больше 180°. Поэтому утверждение Ле­ жандра о том, что V постулат эквивалентен предположению о равенстве суммы углов треугольника двум прямым углам, справед­ ливо только при выполнении остальных аксиом геометрии Евклида — на неевклидовой плоскости Римана, на которой V постулат выпол­ няется, но не выполняются аксиомы порядка геометрии Евклида, эти утверждения уже не эквивалентны. Если на сфере у каждой большой окружности имеются два диаметрально противоположных полюса, то на неевклидовой пло­ скости Римана у каждой прямой имеется только о д и н полюс. Прямую неевклидовой плоскости Римана можно рассматривать как множество всех точек, отстоящих от полюса на расстоянии я г / 2 . Если на рис. 21 мы будем приближать расстояние р к я г / 2 , то 1 ) Впрочем, заключительная часть V постулата, указывающая, по ка­ кую сторону от секущей пересекутся две встречающие ее прямые, в неевкли­ довой геометрии Римаиа теряет смысл, поскольку прямая не разбивает неевклидовой плоскости Римаиа на две части. г