* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ РИМАНА 409 (частным случаем которой является формула (1)), а угол q между > двумя отрезками ОМ и ОМ , исходящими из точки О, —по фор­ муле х 2 co S I p= г *Л +У + _ ( 4 ) У х1 + у] + г1у *\ + у\ + г\ Для того чтобы убедиться в справедливости этих формул, на­ помним, что если а и Ь—два вектора с координатами x y z и lt Xt x т 0 Ob = ab cos q = x x > x 2 +y y t 2 + zz x 2 (где q>— угол между векторами а и Ь) и, в частности, (см. в IV книге ЭЭМ статью «Векторы и их применения в геомет­ рии», стр. 330). Формула (3) вытекает теперь из того, что М М\ = М М\ (поскольку вектор М М Х Х Х 2 имеет координаты х — лг , 2 А 0A Уг — Уи z — i)> 2 z а формула х (4) —из того, что cosq>= 2 х г f % v0M (поскольку векторы ОМ и ОМ имеют координаты х , у , z и Уг> Если М и М — точки нашей сферы, то обычное расстояние между ними измеряется по формуле (3). Расстояние же со между этими точками, измеренное по большой окружности сферы, в соот­ ветствии с соглашениями, принятыми в сферической геометрии, равно углу q) между отрезками ОМ и ОМ , умноженному на ра­ диус г сферы; поэтому, согласно соотношениям (2) и (4), это рас­ стояние вычисляется по формуле x х 2 х 2 cos у = ± (х х х 2 Л-УлУг + *&)• х () 5 Для определения «расстояния» между двумя «точками» М и М неевклидовой геометрии Римана можно воспользоваться той же формулой (5), где только надо учесть, что если ш окажется больше л г / 2 (т. е. если угол ср будет тупым), т о одну из точек М , М надо будет заменить центрально-симметричной (т. е. изменить знаки у чисел x i у , z или у чисел лг , у z ). Отсюда мы получаем следующую формулу для «расстояния» между двумя «точками» не­ евклидовой плоскости Римана: 2 х 2 X х x 2 21 t т Т==-рш\Х\Х%+У1Уг + *А\- (6) 2.2. Основные понятия неевклидовой геометрии Римана. Прин­ цип двойственности. Далее мы будем говорить лишь о неевкли­ довой геометрии Римана, в соответствии с чем откажемся от