* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО 403 глубоко развили аксиоматическую систему, получающуюся при отрицании истинности V п о с т у л а т а ) , но не обнаружили при этом никаких противоречий. Однако, в противоположность своим предшественникам, эти три великих математика сделали из по­ лученных ими результатов вывод о существовании геометри­ ческой системы, отличной от евклидовой- При этом они продол­ жали исследовать новую геометрию, получая дальнейшие отно­ сящиеся к ней теоремы. По-видимому, Гаусс владел основными идеями новой геометрии уже в начале 10-х годов прошлого века; однако, боясь быть непонятым, он никому не сообщил о своем замечательном открытии. Мужественнее поступили Н. И. Лобачев­ ский и Я. Бойяи, которые опубликовали первые работы, излагаю­ щие существо неевклидовой геометрии, и отстаивали свои идеи. Первая публикация в этом направлении принадлежит Лобачевскому, напечатавшему в 1829 году в журнале «Казанский вестник» статью «О началах геометрии». Вслед за этим Лобачевский напечатал много других статей и книг, широко раскрывающих содержание открытой им геометрической системы. Я. Бойяи опубликовал свое открытие в 1832 году в виде приложения («АррепсНх») к обширному сочинению своего отца. Этот краткий мемуар по достоинству считается одним из замечательнейших произведений мировой математической литературы. Ни Лобачевский, ни Гаусс, ни Бойяи не дали строго логического доказательства непротиворечивости изученной ими геометрии; такое доказательство впервые было получено итальянским геомет­ ром Эудженио Б е л ь т р а м и (1868 г.) и немецким математиком Феликсом К л е й н о м (1870 г.). Эти доказательства сводились к построению, в рамках евклидовой геометрии, «моделей» неевкли­ довой геометрии Лобачевского, т. £. такой системы объектов, для которой выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского. Ниже мы укажем, как строится такая модель. Заметим еще, что некоторые попытки доказательства V посту­ лата не использовали метода доказательства от противного. Их авторы систематически развивали геометрическую теорию, бази­ рующуюся на всех аксиомах евклидовой геометрии, кроме V посту­ лата, пытаясь получить на таком пути доказательство V постулата. При этом были намечены контуры аксиоматической системы, базирующейся на ч а с т и полного списка аксиом евклидовой гео­ метрии— на всех ее аксиомах за вычетом аксиомы параллельности. Особенно глубоко изучил эту систему Янош Бойяи, давший ей на­ звание «абсолютная геометрия». Утверждение о непротиворечивости г *) Заметим, впрочем, что п о л н а я система аксиом евклидовой геометрии была установлена лишь на рубеже X I X и X X веков, так что все построе­ ния Лобачевского, Гаусса и Бойяи не являются чисто дедуктивными.